В предыдущем разделе мы пытались выяснить, каким образом (во времени) физическая система реагирует на возмущение. Однако ответ на этот вопрос неизбежно должен привести к рассмотрению временной диџамики, т. е. некоторого предполагаемого уравнения движения. Если динамические явления в системе затухают со временем то достигается уровень аппроксимации, соответствующий шагу 7 табл. 1.1. В зависимости от характера динамического состояния физической системы она может быть либо градиентной динамической, либо градиентной ньютоновской системой, причем и в том и в другом случае она будет иметь свои собственнье «катастрофические отпечатки пальцев».
7.1. Градиентная динамическая система

Уравнения, описывающие такую систему, приводились в гл. 1 [cp. (1.6)]:
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}} .
\]

Если $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ – состояние равновесия, то
\[
V(x ; c)=\text { Константа }+\frac{1}{2} \delta x_{i} \delta x_{i} V_{i j}+O(3) .
\]

Уравнение движения в окрестности состояния равновесия имеет вид
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=-V_{i j} \delta x_{j}+O(2) .
\]

Если отбросить члены второй степени и выше, то полученные уравнения сведутся к простой системе линейных уравнений. Состояние равновесия в точке $x^{0}$ устойчиво, если все собственные значения матрицы устойчивости $V_{i j}\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ положительны. Собственные колебания имеют временную зависимость вида $e^{-\lambda_{i} t}$, где $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ – собственные значения матрицы $V_{i j}$. Поэтому величина $1 / \lambda_{i}$ является характеристическим временем релаксации $i$-й собственной моды.

При подходе к бифуркационному множеству (предположим, что используется принцип максимального промедления) $\operatorname{det} V_{i j} \rightarrow 0$, так что одно или более собственных значений матрицы стремится к нулю. Следовательно, время релаксации соответствующих колебаний возрастает. Другими словами, при подходе к неморсовской критической точке для (по крайней мере) одной из мод становится все труднее релаксироваться в нулю. Это удлинение шкалы времени релаксации и называют критическим замедлением.
7.2. Градиентные ньютоновы системы

Подобные системы отличаются от градиентных систем (9.4D) тем, что у них первые пронзводные по времени заменены вторыми производными по времени (9.4N):
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} & =-\frac{\partial V}{\partial x^{i}}, \\
\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} & =-V_{i j} \delta x_{j}+O(2) .
\end{aligned}
\]

В этом случае динамический отклик в окрестности состояния равновесия (9.5) дается формулой (9.6N). Преобразование нормальных мод может быть произведено для уравнения (9.6N) так же, как для уравнения (9.6D). Если $x^{0}$ – локальный минимум, то все собственные значения матрицы $V_{i j}$ положительны и все моды имеют периодическую временную зависимость вида $e^{i \omega_{j} t}, \omega_{j}^{2}=\lambda_{j}$.

При подходе к бифуркационному множеству (используется принцип максимального промедления) $\operatorname{det} V_{i j} \rightarrow 0$, так что одна или более частота колебаний о $_{j}$ стремится к нулю. Это уменьшение частоты колебания для определеніх мод и называют смягчением моды.
Пример. Для катастрофы складки матрица устойчивости равна $V^{\prime \prime}=$ $=3 x^{2}+a \mid x_{c}$, где $x_{c}$ – координата критической точки. Каноническая кривиз. на для складки была уже показана на рис. 6.2 и 6.5. Для случая градиентной динамической системы на рис. 9.6 изображены времена релаксации $1 / V^{\prime \prime}$ для состояния равновесия при значениях $a=+1, a=0, a=-1$ как функции параметра b. Для случая градиентных ньютоновых систем частота колебания для состояния равновесия как функции $b$ при значениях $a=+1, a=0, a=-1$ изображена на рис. 9.7. Пересчетные соотношения верны как для рис. 9.6, так и для рис. 9.7.

Собственный вектор матрицы $V_{i j}$, соответствующий собственному значению $\lambda_{j}$, стремящемуся к нулю, как раз и дает «плохое» направление, связанное с рассматриваемой неморсовской критической точкой потенциала $V$.
$\diamond \diamond \diamond$ Градиентную динамическую систему и градиентную ньютонову систему можно рассматривать как пределы несколько более сложного классического уравнения движения
\[
m \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}-\gamma \frac{d x_{i}}{d t} .
\]

Здесь член $-\partial V / \partial x_{i}$ может быть интерпретирован как консервативная сила, а – $\gamma d x_{i} / d t$ – как диссипативная сила трения. Обе силы действуют на частицу массы $m$, которая движется в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ (пространство переменных состояния). В этом случае уравнение (9.7) есть не что иное, как ньютоново уравнение движения. Градиентная динамическая система получается при переходе к пределу $m / \gamma \rightarrow 0$, а градиентная ньютонова система – при переходе к пределу $\gamma / m \rightarrow 0$ [ср. (8.2), рис. 8.6].

Рис. 9.6. Критическая кривизна и локальное время релаксации как функции управляющего параметра $b$.

Эти два предела могут быть описаны как «очень медленный» и «консервативный» пределы.
$\diamond \diamond \diamond$ Хотя градиентные динамические системы и градиентные ньютоновы системы представля:от предельные случаи более общего уравнения (9.7), подобно тому как принцип Максвелла и принцип максимального промедления являются экстремумами в множестве возможностей, критические динамические свойства систем (9.7) корректно определены и за пределами диапазона $0<\gamma / m<\infty$.

Рис. 9.7. Частоты ‘нормальных мод показаны как функции $b$.

Чтобы показать это, линеаризуем потенциальную функцию в соответствии с разложением (9.5) и предположим, что существует зависимость вида $\delta x_{j}(t)=\delta x_{j} e^{i \omega t}$. В результате получим уравнение
\[
\left[\left(-m \omega^{2}+i \omega \gamma\right) \delta_{i j}+V_{i j}\right] \delta x_{j}=0 .
\]

Данное уравнение имеет нетривиальное решение только в том случае, когда определитель матрицы (стоящей внутри квадратных скобок) равен нулю. При приближении к вырожденной критической точке $\operatorname{det} V_{i j} \rightarrow 0$, так что по крайней мере один комплексный корень $\omega$ стремится к нулю. Это и есть тот общий случай, который имеет место между критическим замедлением и смягчением моды. Қак и выше, нетривиальный собственный вектор (9.8), соответствующий обращающемуся в нуль собственному значению, описывает «плохое» направление пространства переменных состояния.
$\diamond \diamond \diamond$ Если временные динамики представлены посредством оператора $f(D), D=d / d t$, то уравнение движения в окрестности состояния равновесия может быть записано в виде
\[
\left[f(D)+V_{i l}\right] \delta x_{j}(t)=0 .
\]

Если оператор $f(D)$ линеен и предполагается существование зависимости вида $\delta x_{j}(t)=\delta x_{j} e^{\lambda t}$, то уравнение (9.9) сводится к следующему матричному уравнению:
\[
\left[f(\lambda) \delta_{i j}+V_{i j}\right] \delta x_{j}=0 .
\]

Если же $f$ является полинсмом, в котором отсутствует постоянный член, то при приближении к неморсовской критической точке $\operatorname{det} \mathrm{V}_{l j} \rightarrow 0$ и по крайней мере один из корней $\lambda$ уравнения (9.10) также стремится к нулю. (Как всегда, соответствующие собственные векторь описывают «плохие» направления.)