Если $F$ является функцией катастрофы, то уравнения $
abla F=0$, $\operatorname{det} F_{i j}=0$ определяют сепаратрису в пространстве управляющих параметров. Точки, расположенные на этой сепаратрисе, представляют структурно неустойчивые функции с одной или более неморсовскими критическими точками. Сепаратриса состоит из компонент размерности $0,1,2, \ldots, k-1$, лежащих в пространстве $\mathbb{R}^{k}$, и разбивает пространство $\mathbb{R}^{k}$ на конечное число открытых областей, представляющих структурно устойчивые функции. Если $F$ есть элементарная катастрофа, то объединение этих открытых множеств всюду плотно в пространстве $\mathbb{R}^{k}$.

Уравнения одномерных компонент сепаратрисы и любой из ее компонент можно определить, используя пересчетные соображения. Так как даже в лучшем случае это довольно утомительный процесс, который к тому же не позволяет получить ответ на вопрос: как организованы катастрофы, предлагается более простой и менее утомительный диаграммный метод.

С помощью этого метода можно не только определить все компоненты сепаратрисы и то, каким образом они собраны вместе, но и найти все различные открытые области, параметризующие структурно устойчивые функции. В действительности, можно установить, какие из компонент сепаратрисы будут общей границей между парой открытых областей (так называемый метод стягивания).

Для любой из катастроф также возможно контурное представление.

Было показано, что, используя диаграммное представление функций катастроф, можно легко определить, какие кривые катастроф размерности $k-1$ исходят из начала координат $\mathbb{R}^{k}$ рассматриваемой катастрофы размерности управления $k$.

Поскольку катастрофы являются каноническими, то такова же и их организация: любой росток катастрофы действует как организующий центр, вокруг которого по каноническим орбитам вращаются низшие катастрофы,которые привносят свой «канонический вклад».
$\diamond \diamond \diamond$ Диаграммные и контурные методы, описанные в этой главе, были развиты В. И. Арнольдом $[1,2,3]$ для случая комплексных форм элементарных катастроф. Ограничение этих приемов для случая вещественных форм было проведено Гусейн-Заде [4] и А. Қампо [5,6]. Прекрасный обзор указанных работ можно найти у Каллагана [7], и я благодарен проф. Дж. Эдвину Кларку за то, что он обратил мое внимание на эту монографию.

Литература
1. Арнольд В. И. Нормальные формы для функций вбяизи вырожденных критических точек; групп Вейля $A_{k}, D_{k}, E_{k}$ и лагранжевы особенности. Функ. анализ и его прилож., 1972, 6:4, 3–25.
2. Арнольд В. И. Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера. – УМН, 1973, $28: 5,17-44$.
3. Arnol’d V. I., Critical Points of Smooth Functions, Proc. Int. Cong. Math., Vancouver, 1974, pp. 19-39.
4. Гусейн-Заде C. M. Диаграммы Дынкина для особенностей функций двух переменных. – Функц. анализ и его прилож. 1974, 8:4, 23-30.
5. A’Campo N. A., Le Groupe de Monodromie du Déploiement des Singularités Isolées de Courbes Planes, I, Math. Ann., 213, 1-32 (1975).
6. A’Campo N. A., Le Groupe de Monodromie de Déploiement des Singularités Isolées de Courbes Planes, II, Proc. Int. Cong. Math., Vancouver, 1974, pp. $395-404$.
7. Callahan J., Singularities and Plane Maps II: Sketching Catastrophes, Math. Monthly, 84, 765-803 (1977).