МИНИМАКСНОЕ РЕШАЮЩЕЕ ПРАВИЛО

— статистическое решающее правило, позволяющее получить наименьшее значение максимального (по искомому параметру) условного риска решения. Под условным риском понимается следующее. Имеются объекты или ситуации, определенные параметры которых представляют интерес (напр., названия классов, к которым эти объекты принадлежат). Информация об объектах задается в форме наборов признаков получаемых путем прямых измерений.

Предполагается, что при каждом возможном значении искомого параметра у наборы признаков представляют собой реализации случайной величины с известным условным распределением вероятностей Для определения искомых параметров можно указать некоторое решающее правило , которое отображает пространство признаков X на мн-во решений , т. е. указывает для каждого объекта, описываемого набором признаков решение . Это решение оценивает действительное значение искомого параметра для данного объекта.

Множество решений Л в общем случае может не быть тождественно (точнее, изоморфно) мн-ву значений искомых параметров Г. Задается ф-ция потерь которая устанавливает, какой количественный убыток приносит решение X в случае, когда действительное значение параметра равно у.

Условный риск решения определяется как условное матем. ожидание потерь при использовании данного решающего правила при условии, что искомый параметр равен где знаком обозначено суммирование дискретных или интегрирование по вероятностной мере непрерывных величин. При фиксированном решающем правиле условный риск является ф-цией от искомого параметра у. М. р. п. определено условием: при всех возможных правилах (в общем случае вместо следует поставить ). При построении М. р. п., в отличие от случая байесовского решающего правила, не нужно знать априорного распределения вероятностей искомых параметров

При довольно общих условиях М. р. п. совпадает с байесовским решающим правилом для «наименее благоприятного» априорного распределения (у), т. е.такого, при котором средний риск максимален; при всех возможных распределениях . В некоторых случаях, что типично для дискретных распределений . М. р. п. сводится к рандомизированному правилу, в котором выбор решения производится случайным образом в соответствии с определенными условными вероятностями решений которые задают рандомизированное правило (вместо ф-ции ). В последнем случае условный риск удобнее всего представлять в форме Напр., одномерный признак, принимающий целочисленные значения: Требуется по измеренному значению признака принять минимаксное решение, к какому из двух возможных классов: или принадлежит наблюдаемый объект, если условные вероятности равны соответственно: а ф-ция потерь задана в форме: при при . Здесь пространство X — это счетное мн-во целых чисел,

а мн-во искомых параметров и тождественное ему множество решений — двухточечное мн-во При указанных условиях М. р. п. получается рандомизированным: при при при Минимаксный риск (при указанной ф-ции потерь риск — это вероятность ошибочных решений)

Если в рассмотренном примере ограничиться поиском М. р. п. только в классе нерандомизированных правил, то минимаксный риск увеличится до 0,33. При этом получим следующие равноценные нерандомизированные М. р. п.: при при или же при при

М. р. п. применяется в теории статистич. решений, в игр теории и пр. В распознавании образов М. р. п. используется редко, что вызвано исключительной трудностью его построения в конкретных задачах распознавания. Г. Л. Гимельфарб.