Глава V. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Примеры дифференциальных уравнений.

Уравнения, с которыми мы встречались до настоящего времени, служили преимущественно для отыскания численных значений тех или иных величин. Так, при разыскании максимума и минимума функции мы, решая уравнение, находили те точки, в которых скорость изменения функции обращается в нуль; в главе IV (том 1) рассматривалась задача нахождения корней многочленов и т. п. При этом всякий раз отыскивались из уравнения отдельные числа. Однако в приложениях математики часто возникают качественно новые задачи, в которых неизвестной является сама функция, сам закон зависимости одних переменных от других. Например, изучая процесс охлаждения тела, мы должны определить, как будет изменяться с течением времени его температура; при определении движения планеты или звезды нам необходимо определить зависимость их координат от времени и т. д.

Довольно часто мы можем построить уравнение для нахождения нужных нам неизвестных функций — такие уравнения называют функциональными. Природа их может быть, вообще говоря, весьма разнообразной (можно сказать, что с простейшими, самыми примитивными функциональными уравнениями мы уже встречались, рассматривая неявное задание функций).

Задачам разыскания неизвестных функций будут посвящены главы V, VI и VIII. В этой и следующей главе будут рассмотрены, пожалуй, наиболее важные из уравнений, служащих для разыскания функций — так называемые дифференциальные уравнения. Под этим названием понимают уравнения, в которые входит не только сама неизвестная функция, но и ее производные некоторых порядков.

Нижеследующие равенства могут служить примерами дифференциальных уравнений:

В первых трех из них неизвестная функция обозначена буквой х, а буквой t — независимое переменное; в последних же трех неизвестная функция обозначена буквой и, и она зависит от двух аргументов х и t или х и у.

Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняется главным образом тем, что к решению таких уравнений может быть приведено исследование многих физических проблем и технических задач.

Расчеты электрических машин и радиотехнических установок, вычисление траекторий снарядов, исследование устойчивости самолета в полете или течения химической реакции — все это производится путем решения дифференциальных уравнений.

Весьма часто бывает, что физические законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в форме дифференциальных уравнений и сами дифференциальные уравнения являются средством для точного количественного (числового) выражения этих законов. Читатель в следующей главе увидит, например, как в форме дифференциального уравнения записываются законы сохранения масс и тепловой энергии. Законы механики, открытые Ньютоном, позволяют исследовать движение всякой механической системы при помощи дифференциальных уравнений.

Мы поясним это простым примером. Пусть рассматривается материальная частица массы движущаяся по оси Координату ее в момент времени t обозначим х. При движении частицы ее координата х с течением времени будет изменяться, и знание всего движения частицы равносильно знанию функциональной зависимости х от времени Допустим, что движение происходит под действием силы величина которой зависит от положения частицы, определяемого координатой х, от скорости движения от времени т. е. Согласно законам механики действие силы на частицу должно вызвать такое ускорение движения чтобы произведение его на массу частицы было точно равно величине действующей силы, и, стало быть, в любой момент движения должно выполняться равенство

Это — дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция описывающая историю движения частицы. Оно является просто записью указанного выше закона механики. Значение же его состоит в том, что оно позволяет свести механическую задачу определения движения частицы к математической задаче решения дифференциального уравнения.

Ниже читатель найдет другие примеры, показывающие, как изучение различных физических процессов может быть сведено к исследованию дифференциальных уравнений.

Теория дифференциальных уравнений начала развиваться в конце XVII в. почти одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчислений. В настоящее время дифференциальные уравнения стали могучим орудием исследования явлений природы. В механике, астрономии, физике, технике с их помощью были достигнуты огромные успехи. Ньютон, исследуя дифференциальные уравнения движения небесных тел, получил законы движения планет, установленные Кеплером эмпирически. Леверье в 1846 г. предсказал существование планеты Нептун и определил ее положение на небе на основе численного анализа тех же уравнений.

Чтобы описать в общих чертах задачи теории дифференциальных уравнений, отметим сначала, что каждое дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, не одно, а бесконечно много решений, — существует бесконечное множество функций, ему удовлетворяющих. Так; например, указанное выше уравнение движения материальной частицы должно выполняться для всякого движения, происходящего, под действием силы, характеризуемой функцией независимо от того, с какого места оси оно началось и какова была начальная скорость. Каждому отдельному движению частицы будет соответствовать своя зависимость х от времени Так как движений под действием силы F может быть бесконечно много, дифференциальное уравнение (2) будет иметь бесконечное множество решений.

Каждое дифференциальное уравнение определяет, вообще говоря, целый класс функций, ему удовлетворяющих. Основной задачей теории является изучение функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Теория уравнений должна дать возможность получить достаточно полное представление о свойствах всех функций, удовлетворяющих уравнению, что особенно важно в приложениях уравнений к естествознанию. Кроме того, она должна обеспечить средства для нахождения численных значений функций, если это потребуется для расчетов. О том, как это осуществляется, мы будем говорить позже.

Если неизвестная функция зависит от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. В том же случае, когда неизвестная функция зависит от нескольких аргументов и в уравнение входят производные от нее по нескольким аргументам, дифференциальное уравнение называют уравнением с частными производными. Первые три из уравнений (1) являются обыкновенными, а последние три — уравнениями с частными производными.

Теория уравнений с частными производными обладает многими своеобразными чертами, существенно отличающими ее от теории обыкновенных уравнений. Основные идеи, связанные с такими уравнениями, будут изложены в следующей главе; здесь же мы будем иметь в виду только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Закон распада радия состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству радия. Пусть известно, что в некоторый момент времени имелось граммов радия. Требуется определить количество радия в любой момент времени

Пусть — количество нераспавшегося радия в момент времени I.

Скорость распада измеряется величиной — Так как она пропорциональна то мы имеем

где к — величина постоянная.

Чтобы решить нашу задачу, нужно определить функцию из дифференциального уравнения (3). Для этого заметим, что функция, обратная к удовлетворяет уравнению

так как интегрального исчисления известно, что уравнению (4) удовлетворяет любая функция вида

где С — произвольная постоянная величина. Из этого соотношения мы определяем как функцию Имеем

Из всего множества решений (5) уравнения (3) мы должны выделить такое, которое при принимает значение Такое решение мы получим, если положим

С математической точки зрения уравнение (3) является записью весьма простого закона изменения функции и говорит о том, что скорость убывания функции — пропорциональна значению самой функции Такой закон изменения функции выполняется не только в явлениях радиоактивного распада, но и во многих других физических явлениях.

С тем же законом изменения функции мы встречаемся, например, при изучении охлаждения тел, когда убыль количества тепла в теле

пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды, и при рассмотрении многих других физических процессов. Поэтому область применения уравнения (3) несравненно шире той частной задачи распада радия, для которой мы это уравнение получили.

Пример 2. Пусть материальная точка с массой движется вдоль горизонтальной оси в сопротивляющейся среде, например в жидкости или газе, под влиянием упругой силы двух пружин, действующих по закону Гука (рис. 1).

Рис. 1.

Этот закон состоит в том, что упругая сила действует в сторону положения равновесия и пропорциональна отклонению от положения равновесия. Пусть положению равновесия соответствует точка Тогда сила упругости равна

Силу сопротивления среды будем считать пропорциональной скорости движения, т. е. равной где и знак минус указывает на то, что сопротивление среды направлено против скорости движения. Такое предположение о силе сопротивления среды хорошо оправдывается опытом при малых скоростях.

На основании закона Ньютона произведение массы материальной точки на ее ускорение равно сумме действующих на нее сил, т. е.

Таким образом, функция выражающая положение движущейся точки в любой момент времени удовлетворяет дифференциальному уравнению (6). Исследованием решений этого уравнения мы займемся в одном из следующих параграфов.

Если к материальной точке, кроме перечисленных сил, приложена еще сила внешняя относительно системы, уравнение движения (6) изменится и примет форму

Пример 3. Математическим маятником называется материальная точка массы подвешенная на нити, длину которой мы обозначим через I (рис. 2). Мы будем предполагать, что маятник все время остается в одной и той же плоскости — в плоскости чертежа. Силой, которая стремится вернуть маятник в положение равновесия О А, является сила тяжейти действующая на материальную точку. Положение

маятника в любой момент времени t определится углом на который он отклоняется от вертикали О А. За положительное направление отсчета о примем направление против движения часовой стрелки. Дуга есть путь, пройденный материальной точкой от положения равновесия А. Скорость движения будет направлена вдоль касательной к окружности и будет иметь следующее численное значение:

Рис. 2.

Чтобы составить уравнение движения, разложим силу тяжести на две составляющие и Р, первая из которых направлена вдоль радиуса ОА, а вторая — по касательной к окружг ности. Составляющая не может изменять численного значения скорости так как действие ее будет уничтожено сопротивлением подвеса О А. Изменять значение скорости может только составляющая Р. Она действует всегда в сторону положения равновесия А, т. е. в сторону убыли , если угол положительный, и в сторону роста , когда отрицательный. Численное значение Р равно и поэтому уравнение движения маятника будет

или

Интересно отметить, что решения этого уравнения не выражаются через элементарные функции в конечном виде. Запас элементарных функций оказывается слишком бедным для того, чтобы при помощи них можно было дать точное описание даже такого простого физического процесса, как колебания математического маятника. Позже мы увидим, что дифференциальные уравнения, решаемые в элементарных функциях, немногочисленны, и весьма часто случается, что исследование того или иного дифференциального уравнения, встречающегося в физике или механике, побуждает нас вводить новые классы функций, подвергать их исследованию и расширять арсенал тех функций, которые применяются при решении прикладных задач.

Ограничимся сейчас рассмотрением малых колебаний маятника, когда с малой ошибкой можно считать дугу равной ее проекции х

на горизонтальную ось равным . Тогда и уравнение движения маятника примет более простую форму

Ниже мы выясним, что это уравнение решается в тригонометрических функциях и при помощи их оказывается возможным достаточно точно описать «малые колебания» маятника.

Пример 4. Акустический резонатор Гельмгольца (рис. 3) состоит из наполненного воздухом сосуда V, объем которого равен с цилиндрическим горлышком Приближенно можно рассматривать воздух в горлышке сосуда как пробку с массой

где — плотность воздуха, — площадь сечения горлышка, I — его длина.

Рис. 3.

Если представить себе эту массу воздуха смещенной из положения равновесия на величину х, то давление воздуха в сосуде с объемом изменится от начального давления на некоторую величину, которую мы обозначим

Будем считать, что давление и объем связаны адиабатическим законом Тогда, если пренебречь величинами высших порядков малости, получим

и

(В нашем случае Уравнение движения массы воздуха в горлышке можно записать так:

Здесь — сила давления газа, находящегося внутри сосуда, воздушную пробку, находящуюся в горлышке. На основании (10) и (11) получаем

где — постоянные.

Пример 5. К уравнению вида (6) приводит также изучение электрических колебаний в простейшем колебательном контуре. Схема этого контура изображена на рис. 4. Здесь слева изображен конденсатор

емкости С, обкладки которого замкнуты через самоиндукцию и сопротивление Пусть в некоторый момент обкладкам конденсатора сообщена разность потенциалов, после чего ее источник отключен. При отсутствии самоиндукции по проводу, соединяющему обкладки конденсатора, потек бы ток, который продолжался бы до тех пор, пока потенциалы обкладок не выравнялись бы. При наличии же самоиндукции процесс пойдет иначе. В контуре возникнут электрические колебания. Чтобы вывести закон этих колебаний, обозначим через или просто через разность потенциалов на обкладках конденсатора в момент через силу тока в момент через тивление. По известным законам физики в каждый момент времени равняется полной электродвижущей силе, а эта последняя складывается и» электродвижущей силы происходящей от разности потенциалов на обкладках конденсатора и электродвижущей силы самоиндукции Поэтому

Рис. 4.

Обозначим через заряд конденсатора в момент Тогда сила тока в цепи будет равна в каждый момент Разность потенциалов на обкладках конденсатора равна Поэтому I — и равенство (13) можно переписать в виде

Пример 6. Схема лампового генератора электромагнитных колебаний показана на рис. 5. Колебательный контур, состоящий из емкости С, сопротивления и самоиндукции представляет основную колебательную систему. Катушка и электронная лампа, схематически изображенная в центре рис. 5, составляет так называемую обратную связь. Они связывают источник энергии — батарею В — с контуром ; К — означает катод лампы, А — анод, — сетку. При такой схеме в контуре возникают «автоколебания». Во всякой реальной системе при колебательном процессе энергия переходит в тепло или передается в какой-либо другой форме окружающим телам. Поэтому для поддержания стационарного режима колебаний, для сохранения амплитуды колебаний каждая реальная колебательная система должна получать энергию извне. Автоколебания отличаются от других колебательных

процессов тем, что для поддержания стационарного колебательного режима в таких системах воздействие извне не обязано быть периодическим. Устройство автоколебательных систем таково, что в них постоянный источник энергии, в нашем примере батарея В, поддерживает стационарный колебательный режим. Автоколебательными системами являются часы, электрический звонок, струна и смычок, который ведет рука музыканта, голос человека и др.

Рис. 5.

Рис. 6.

Сила тока в колебательном контуре удовлетворяет уравнению

Здесь — разность потенциалов на обкладках конденсатора в момент — сила анодного тока через катушку — коэффициент взаимной связи между катушками и По сравнению с уравнением (13) уравнение (15) содержит лишний член

Будем считать, что анодный ток зависит только от разности потенциалов на сетке и катоде лампы, т. е. будем пренебрегать реакцией анода; при таком предположении эта разность потенциалов равна разности потенциалов на обкладках конденсатора С. Характер функциональной зависимости от изображен на рис. 6. Изображенную кривую обычно принимают за кубическую параболу и ее приближенное уравнение пишут так:

Подставляя это в правую часть уравнения (15) и пользуясь тем, что

мы получим для уравнение

В рассмотренных примерах разыскание тех или иных физических величин, характеризующих заданный физический процесс, свелось к разысканию решений обыкновенных дифференциальных уравнений.