Общее понятие функции комплексного переменного и дифференцируемость функций.

Степенные ряды позволяют определить аналитические функции комплексного переменного. Однако представляет интерес изучить для произвольных функций комплексного перемепного основные операции анализа и в первую очередь операцию дифференцирования. Здесь обнаруживаются весьма глубокие факты, связанные с дифференцированием функций комплексного переменного. Как увидим дальше, с одной стороны, функция, имеющая первую производную во всех

точках окрестности некоторой точки обязательно имеет в производные всех порядков и, более того, разлагается в этой точке в степенной ряд, т. е. будет аналитической. Таким образом, рассматривая дифференцируемые функции комплексного переменного, мы опять приходим к классу аналитических функций. С другой стороны, изучение производной откроет нам геометрическую природу функций комплексного переменного и связи теории функций с задачами уравнений математической физики.

Ввиду изложенного мы будем дальше называть аналитической в точке функцию, имеющую производную во всех точках некоторой окрестности

Мы будем говорить, исходя из общего определения функции, что комплексное переменное есть функция комплексного переменного z, если указан закон, позволяющий получить значение по заданному значению

Каждое комплексное число изображается точкой на плоскости а числа будем изображать точками на своей плоскости — плоскости функции. Тогда с геометрической точки зрения функция комплексного переменного

определяет закон соответствия между точками плоскости аргумента и точками плоскости функции. Другими словами, функция комплексного переменного дает отображение плоскости аргумента на плоскость функции. Задать функцию комплексного переменного значит задать соответствие между парами чисел поэтому задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций

причем очевидно

Например, если

то

Производная от функции комплексного переменного определяется формально так же, как и производная функции действительного переменного. Производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента

если предел существует.

Если мы предположим, что две действительные функции и состав ляющие имеют частные производные по х и у, то этого оказывается еще недостаточно для того, чтобы существовала производная от функции Предел отношения приращений, как правило, зависят от направления, по которому точка приближается к точке (рис. 3). Для существования производной надо, чтобы этот предел не зависел от способа приближения z к Рассмотрим, например, случаи, когда приближается к z параллельно оси или параллельно оси

Рис. 3.

В первом случае

и отношение приращений

при Дж будет стремиться к

Во втором случае

и отношение приращений

в пределе даст

Если функция имеет производную, то два полученных выражения должны быть равны и, следовательно,

Выполнение этих уравнений есть необходимое условие для существования производной функции Оказывается, что условия (24) не только необходимы, но и достаточны (если функции и и имеют полный дифференциал). Мы не будем останавливаться на доказательстве достаточности условий (24). Условия (24) носят название уравнений Коши—Римана.

Легко убедиться, что ряд правил дифференцирования функций действительного переменного без изменения переносится на функции комплексного переменного. Так обстоит дело с дифференцированием функции суммы, произведения и частного. Сам вывод этих формул остается таким же, как для функций действительного переменного, надо только, вместо действительных величин, подразумевать комплексные. Это показывает, что всякий многочлен от z

есть всюду дифференцируемая функция. Любая рациональная функция, равная отношению двух многочленов !

дифференцируема во всех точках, где знаменатель не равен нулю.

Чтобы убедиться в дифференцируемости функции можно использовать условия Коши—Римана. В нашем случае на основании формулы (20)

подстановка этих функций в (24) показывает, что уравнения Коши—Римана удовлетворяются. Производная может быть вычислена, например, по формуле (22). Это дает

На основании формул (17) легко убедиться в дифференцируемости тригонометрических функций и в применимости известных из анализа формул для значения их производных.