Краевая задача для уравнения теплопроводности.

Совершенно по-иному ставится задача об отыскании решения уравнения теплопроводности в неуставовившемся случае. Физически ясно, что значения только температуры на границе или только потока тепла на границе недостаточно для того, чтобы определить решение задачи. Если, однако, кроме того известно распределение температуры в некоторый начальный момент времени, то задача становится определенной. Таким образом, для разыскания решения уравнения передачи тепла (8) обычно необходимо и достаточно задать одну произвольную функцию — начальное распределение температур — и еще одну произвольную функцию на границе области. Это может быть, как и раньше, либо температура на поверхности тела, либо поток тепла через каждый элемент поверхности, либо закон, связывающий поток тепла с температурой.

Таким образом, задача должна ставиться так. Найти решение уравнения (8) при условии

и одном из трех следующих условий:

где - любая точка поверхности

Условие (11) называется начальным условием, а условия (12) — краевыми или граничными условиями.

Подробно доказывать, что каждая такая задача всегда имеет определенное решение, мы не будем, а остановимся только на первой из этих задач, причем рассмотрим случай, когда внутри среды тепловыделение отсутствует. Мы докажем, что уравнение

при условиях

может допускать лишь одно решение.

Доказательство этого утверждения очень близко напоминает то доказательство, которое мы привели для единственности решения уравнения Лапласа. Покажем прежде всего, что если выражение

то функция Т, как функция четырех переменных достигает минимума или на границе области изменения или внутри но тогда обязательно в начальный момент времени, при

В самом деле, в противном случае минимум Т достигался бы в какой-нибудь внутренней точке. В этой точке были бы равны нулю все первые производные, в том числе и а если бы этот минимум оказался при то была бы неположительной. В той же точке все производные порядка по переменным были бы неотрицательными. Следовательно, — оказалось бы неотрицательным. Итак, в нашей области таких значений встретиться не может.

Точно так же можно установить, что если внутри при не может существовать максимума функции Т.

Наконец, если то внутри при функция Т не может достигать ни абсолютного максимума, ни абсолютного минимума, так как если бы функция Т имела, например, такой абсолютный минимум, то, добавив к ней слагаемое и перейдя к рассмотрению функции мы при достаточно малом не устранили бы наличия абсолютного минимума, но при этом сделали бы отрицательным, а это невозможно.

Таким же образом доказывается и отсутствие абсолютного максимума у T в рассматриваемой области.

Итак, как абсолютный максимум, так и абсолютный минимум температуры могут быть достигнуты либо в начальный момент при либо на границе рассматриваемой среды. Если и в начальный момент и на границе то мы будем иметь тождественно везде внутри области при всех Если для каких-либо двух распределений температуры значения их при и на границе совпадают, то разность будет удовлетворять уравнению теплопроводности и будет обращаться в нуль при и на границе. Значит, будет везде равно нулю, и оба температурных распределения совпадают всюду.

Исследуя позднее методы решения уравнений математической физики, мы убедимся, что значения Т при и правые части одного из равенств (12) можно задать совершенно произвольно, т. е. что решение каждой из таких задач существует.