§ 3. СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ГЕОМЕТРИЕЙ

Геометрические свойства дифференцируемых функций.

Так же как при изучении функций действительного переменного, в теории аналитических функций большую роль играет геометрическая интерпретация

функций. Можно смело сказать, что геометрические свойства функций комплексного переменного не только служат для наглядного представления аналитических свойств функции, но и привели к специальной проблематике этой теории. Круг проблем, связанных с геометрическими свойствами функций, получил название геометрической теории функций. Как уже говорилось выше, с геометрической точки зрения функция комплексного переменного представляет собой отображение плоскости z на плоскость Это отображение может быть задано также двумя функциями действительного переменного

Если мы хотим изучить характер отображения в весьма малой окрестности некоторой точки, то мы можем разложить эти функции в ряд Тейлора и ограничиться главными членами разложения

где производные берутся в точке Следовательно, вблизи некоторой точки всякое отображение можно приближенно рассматривать как аффинное отображение

где

Рассмотрим свойства отображения, реализуемого аналитической функцией вблизи некоторой точки Пусть С — линия, выходящая из точки на плоскости соответствующие точки образуют линию Г, выходящую из точки Если z — соседняя точка и — соответствующая ей точка, то при будет

В частности, отсюда следует, что

Это можно сформулировать следующим образом.

Предел отношения длин соответствующих хорд на плоскости и на плоскости в точке z для всех кривых, выходящих из заданной точки один и тот же, или, как говорят, отношение линейных элементов на плоскости и на плоскости z в заданной точке не зависит от выходящей из точки z кривой.

Величина характеризующая увеличение линейных элементов в точке z, называется коэффициентом растяжения в точке

Рис. 14.

Допустим теперь, что в некоторой точке производная , тогда величина имеет вполне определенный аргумент. Вычислим его, пользуясь (34),

но есть угол хорды с действительной осью, есть угол хорды с действительной осью. Если мы обозначим через а и (3 углы касательных в точке к линиям С и Г (рис. 14), то при

и следовательно, в пределе получим

Это равенство показывает, что равен углу , на который надо повернуть направление касательной в точке z к линии С для того, чтобы получить направление касательной к линии Г в точке . В силу этого свойства называют вращением отображения в точке

Из равенства (36) читатель легко выведет следующие положения. При переходе от плоскости z к плоскости касательные ко всем кривым, выходящим из заданной точки, поворачиваются на один и тот же угол.

Если - две линии, выходящие из точки z, а соответствующие линии, выходящие из точки то угол, составляемый в точке равен углу, составляемому в точке

Таким образом, при отображении, реализуемом аналитической функцией в каждой точке, где все линейные элементы растягиваются в одном и том же отношении, а углы между соответствующими направлениями не меняются.

Отображения, обладающие указанными свойствами, носят название конформных отображений.

Из доказанных геометрических свойств отображений вблизи точки, в которой естественно ожидать, что в некоторой малой окрестности отображение будет взаимно однозначным, т. е. не только каждой точке z будет соответствовать лишь одна точка но и обратно: каждая точка будет образом только одной точки Это действительно может быть строго доказано.

Для того чтобы полнее представить себе, как выделяются конформные отображения среди различных других отображений, полезно рассмотреть любое отображение в малой окрестности некоторой точки. Если рассмотрим главные члены разложения функций и и реализующих отображение, в ряд Тейлора, то получим

Если в малой окрестности точки пренебречь членами высшего порядка, то наше отображение будет вести себя, как аффинное отображение. Это отображение будет обратимо, если его определитель отличен от нуля

Если то для представления о поведении отображения вблизи точки нужно рассматривать члены высших порядков

В случае, когда и есть аналитическая функция, мы можем производные по у выразить, пользуясь условиями Коши—Римана, через производные по х, и тогда получим

т. е. отображение обратимо, когда Если положим

и отображение вблизи точки имеет вид

Эти формулы показывают, что в случае аналитической функции отображение вблизи точки сводится к повороту на угол и растяжению с коэффициентом . В самом деле, выражения, стоящие в скобках, есть известные из аналитической геометрии формулы поворота плоскости на угол с, а умножение на дает растяжение в раз.

Для того чтобы представить себе, что может произойти с отображением в точках, в которых полезно рассмотреть функцию

Производная этой функции обращается в нуль при Отображение (37) удобнее всего рассмотреть, пользуясь полярными координатами или тригонометрической формой комплексного числа. Пусть

Имея в виду, что при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются, получим

и поэтому

Из последней формулы мы видим, что луч плоскости z перейдет на плоскости в луч Следовательно, угол между двумя лучами величины а на плоскости z будет переходить в угол величины Отображение плоскости z на плоскость уже перестанет быть однозначным. В самом деле, если задана точка с модулем и аргумейтом 0, то она может быть получена как образ точек с модулем и аргументами

При возведении в степень модули соответствующих точек будут равны , а аргументы будут равны

и так как прибавление к аргументу величин, кратных не меняет геометрического положения точки, все образы на плоскости совпадут.