Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. О МЕТОДЕ ВИНОГРАДОВАМетод Виноградова в приложении к решению проблемы Гольдбаха.Мы попытаемся дать в этом параграфе некоторое представление о методе Виноградова на частном примере решения им проблемы Гольдбаха о представимости нечетного числа в виде суммы трех простых чисел. Выражение числа представлений
в простых числах Проблема Гольдбаха будет решена, если будет установлено, что
где суммирование ведется по простым числам, не превышающим Действительно, при целом
так как
если
Таким образом, всякий раз, когда простые Так как
Введем обозначение
тогда
Разбиение промежутка интегрирования на основные и дополнительные отрезки. Пусть того, что подинтегральная функция в (37) имеет период, равный единице, отрезок интегрирования в (37) можно заменить отрезком от
Рассмотрим теперь все правильные несократимые дроби -у с знаменателями, не превосходящими
при достаточно большом Представим
где
Таким образом, ввиду (40), число представлений нечетного Выражение интеграла по основным отрезкам. Пусть
распространенную на все простые числа, не превосходящие
где М выбрано с таким расчетом, чтобы
где знак Разобьем далее каждую из сумм
на суммы
и, следовательно,
где
В выражении, стоящем в правой части (45), лишь первый множитель зависит от I, т. е. от выбора арифметической прогрессии
и далее, ввиду (42):
причем
что позволяет заменить (46) соотношением
После суммирования по М устанавливается, что
Входящая в правую часть соотношения (48) сумма
где суммирование распространяется на натуральные I, не превосходящие и взаимно простые с ним, выражается через арифметическую функцию определенную следующим образом:
Поэтому уравнение (48) можно записать в виде
Ввиду того, что
В соответствии с определением
где при данном
Введем обозначение
Из соотношения (52) следует, что
Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что приближенно подсчитать; именно, оказывается, что
Выражение, стоящее в правой части соотношения (54) множителем при
так что, благодаря (54) и (55), удается установить, что
или, точнее говоря,
где
Заметим, что арифметическое выражение
где С — некоторая постоянная, и произведение распространено на все простые делители числа
Оценка интеграла по дополнительным отрезкам. Перейдем теперь к оценке суммы
где Но квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на сопряженное с ним комплексное число, и, следовательно,
где ввиду (36)
так как
или в виде
Но интеграл, входящий в неравенство (63), в соответствии со сказанным в начале настоящего параграфа, представляет число
где В — постоянная. Таким образом,
где, повторяем, наибольшую трудность и является центральным местом всего доказательства рассматриваемой теоремы. Каждое а, принадлежащее одному из дополнительных интервалов, представимо в виде
при указанных предположениях. Виноградов, в частности, установил, что
при этом он использовал одно указанное им весьма важное тождество, связанное с уже знакомой нам функцией К сожалению, здесь нет возможности дать доказательство равенства (65); читателям, желающим познакомиться с этим доказательством, следует обратиться к главе X книги И. М. Виноградова «Метод тригонометрических сумм в теории чисел». Из (65) и (64), как уже отмечалось, вытекает, что
Таким образом, ввиду (40), (58) и (59)
где
и
|
1 |
Оглавление
|