§ 4. О МЕТОДЕ ВИНОГРАДОВА

Метод Виноградова в приложении к решению проблемы Гольдбаха.

Мы попытаемся дать в этом параграфе некоторое представление о методе Виноградова на частном примере решения им проблемы Гольдбаха о представимости нечетного числа в виде суммы трех простых чисел.

Выражение числа представлений суммой трех простых в виде интеграла. Пусть — достаточно большое нечетное число. Обозначим через число представлений в виде суммы трех простых чисел, иначе говоря, число решений уравнения

в простых числах

Проблема Гольдбаха будет решена, если будет установлено, что Метод Виноградова позволяет не только установить этот факт (для достаточно больших но и найти приближенное выражение для

можно записать в следующем виде:

где суммирование ведется по простым числам, не превышающим

Действительно, при целом

так как

если

Таким образом, всякий раз, когда простые в сумме дают интеграл под знаком суммы в (35) обращается в единицу, а когда сумма этот интеграл равен нулю, что и показывает справедливость равенства (35).

Так как и интеграл от суммы нескольких слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых, то из равенства что

Введем обозначение

тогда

Разбиение промежутка интегрирования на основные и дополнительные отрезки. Пусть — некоторая, выбранная надлежащим образом в зависимости от величина, неограниченно возрастающая вместе с но малая по отношению к и даже к и пусть Ввиду

того, что подинтегральная функция в (37) имеет период, равный единице, отрезок интегрирования в (37) можно заменить отрезком от до Поэтому

Рассмотрим теперь все правильные несократимые дроби -у с знаменателями, не превосходящими и выделим из отрезка соответствующие этим дробям «основные» отрезки

при достаточно большом эти отрезки, как это можно доказать, не будут иметь общих точек. Таким образом, отрезок будет разбит на отрезки основные и «дополнительные».

Представим в виде суммы двух слагаемых

где обозначает сумму интегралов по основным отрезкам, а — сумму интегралов по дополнительным отрезкам. Как будет видно из дальнейшего, при неограниченном возрастании нечетного неограниченно возрастает также причем

Таким образом, ввиду (40), число представлений нечетного в виде суммы трех простых чисел неограниченно возрастает вместе с что, в частности, доказывает предположение Гольдбаха для всех достаточно больших нечетных

Выражение интеграла по основным отрезкам. Пусть принадлежит одному из основных отрезков; согласно (39), причем и Разобьем сумму (36)

распространенную на все простые числа, не превосходящие на частичные суммы вида

где М выбрано с таким расчетом, чтобы «мало» отличалось от (имея в виду дать лишь понятие о методе Виноградова, а не доказательство теоремы Гольдбаха—Виноградова, мы не уточняем здесь и в дальнейшем смысла выражения «мало отличается»; на самом деле в доказательстве И. М. Виноградова речь идет о строго определенных неравенствах, связанных с большими вычислениями). Таким образом,

где знак указывает на то, что левая часть последнего соотношения шало» отличается от средней его части.

Разобьем далее каждую из сумм

на суммы распространенные на простые числа удовлетворяющие соотношению и принадлежащие арифметическим прогрессиям где принимает все значения от 0 до взаимно простые с Но

и, следовательно,

где — число простых чисел, удовлетворяющих условиям и принадлежащих арифметической прогрессии В развитие формулы (14) для числа простых чисел, не превосходящих х, установлено, что для значений , «малых», по сравнению с разностью , мало отличается от где функция Эйлера. Это — арифметическая функция (т. е. функция, определенная для натуральных представляющая число целых положительных чисел, не превосходящих и взаимно простых с Ввиду (44), таким образом, можно получить, что

В выражении, стоящем в правой части (45), лишь первый множитель зависит от I, т. е. от выбора арифметической прогрессии мы рассматриваем сейчас как фиксированное). После суммирования по I получается, что

и далее, ввиду (42):

причем

что позволяет заменить (46) соотношением

После суммирования по М устанавливается, что

Входящая в правую часть соотношения (48) сумма

где суммирование распространяется на натуральные I, не превосходящие

и взаимно простые с ним, выражается через арифметическую функцию определенную следующим образом: если делится на квадрат целого числа, большего единицы; если , где — различные простые. Именно, при взаимно простых

Поэтому уравнение (48) можно записать в виде

Ввиду того, что

В соответствии с определением имеем

где при данном суммирование ведется по всем неотрицательным а, меньшим Так как то, вследствие (50),

Введем обозначение

Из соотношения (52) следует, что

Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что представляет собой некоторое аналитическое выражение, которое удается

приближенно подсчитать; именно, оказывается, что

Выражение, стоящее в правой части соотношения (54) множителем при «мало» отличается от суммы бесконечного ряда

так что, благодаря (54) и (55), удается установить, что

или, точнее говоря,

где

Заметим, что арифметическое выражение может быть представлено в виде

где С — некоторая постоянная, и произведение распространено на все простые делители числа причем, как показывают вычисления,

Оценка интеграла по дополнительным отрезкам. Перейдем теперь к оценке суммы интегралов по дополнительным отрезкам. Так как модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подинтегральной функции и при действительном то

где представляет наибольшее значение при а, принадлежащих дополнительным отрезкам (мы усилили неравенство, взяв множителем при интеграл, распространенный на весь отрезок

Но квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на сопряженное с ним комплексное число, и, следовательно,

где ввиду (36)

так как Поэтому неравенство (62) можно переписать в виде

или в виде

Но интеграл, входящий в неравенство (63), в соответствии со сказанным в начале настоящего параграфа, представляет число решений в простых числах не превосходящих уравнения или попросту число простых чисел, не превосходящих т. е. Согласно результату (12) Чебышева

где В — постоянная. Таким образом,

где, повторяем, представляет наибольшее значение на дополнительных отрезках. Ввиду (58) и (59) для доказательства теоремы Гольдбаха—Виноградова остается показать, что имеет порядок меньший, чем однако установление этого факта представляет

наибольшую трудность и является центральным местом всего доказательства рассматриваемой теоремы.

Каждое а, принадлежащее одному из дополнительных интервалов, представимо в виде где и Вопрос состоит, таким образом, в оценке модуля тригонометрической суммы

при указанных предположениях. Виноградов, в частности, установил, что

при этом он использовал одно указанное им весьма важное тождество, связанное с уже знакомой нам функцией

К сожалению, здесь нет возможности дать доказательство равенства (65); читателям, желающим познакомиться с этим доказательством, следует обратиться к главе X книги И. М. Виноградова «Метод тригонометрических сумм в теории чисел».

Из (65) и (64), как уже отмечалось, вытекает, что

Таким образом, ввиду (40), (58) и (59)

где

и имеет значение (60), причем, ввиду (61), Этими завершается доказательство теоремы.