Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. О МЕТОДЕ ВИНОГРАДОВА

Метод Виноградова в приложении к решению проблемы Гольдбаха.

Мы попытаемся дать в этом параграфе некоторое представление о методе Виноградова на частном примере решения им проблемы Гольдбаха о представимости нечетного числа в виде суммы трех простых чисел.

Выражение числа представлений суммой трех простых в виде интеграла. Пусть — достаточно большое нечетное число. Обозначим через число представлений в виде суммы трех простых чисел, иначе говоря, число решений уравнения

в простых числах

Проблема Гольдбаха будет решена, если будет установлено, что Метод Виноградова позволяет не только установить этот факт (для достаточно больших но и найти приближенное выражение для

можно записать в следующем виде:

где суммирование ведется по простым числам, не превышающим

Действительно, при целом

так как

если

Таким образом, всякий раз, когда простые в сумме дают интеграл под знаком суммы в (35) обращается в единицу, а когда сумма этот интеграл равен нулю, что и показывает справедливость равенства (35).

Так как и интеграл от суммы нескольких слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых, то из равенства что

Введем обозначение

тогда

Разбиение промежутка интегрирования на основные и дополнительные отрезки. Пусть — некоторая, выбранная надлежащим образом в зависимости от величина, неограниченно возрастающая вместе с но малая по отношению к и даже к и пусть Ввиду

того, что подинтегральная функция в (37) имеет период, равный единице, отрезок интегрирования в (37) можно заменить отрезком от до Поэтому

Рассмотрим теперь все правильные несократимые дроби -у с знаменателями, не превосходящими и выделим из отрезка соответствующие этим дробям «основные» отрезки

при достаточно большом эти отрезки, как это можно доказать, не будут иметь общих точек. Таким образом, отрезок будет разбит на отрезки основные и «дополнительные».

Представим в виде суммы двух слагаемых

где обозначает сумму интегралов по основным отрезкам, а — сумму интегралов по дополнительным отрезкам. Как будет видно из дальнейшего, при неограниченном возрастании нечетного неограниченно возрастает также причем

Таким образом, ввиду (40), число представлений нечетного в виде суммы трех простых чисел неограниченно возрастает вместе с что, в частности, доказывает предположение Гольдбаха для всех достаточно больших нечетных

Выражение интеграла по основным отрезкам. Пусть принадлежит одному из основных отрезков; согласно (39), причем и Разобьем сумму (36)

распространенную на все простые числа, не превосходящие на частичные суммы вида

где М выбрано с таким расчетом, чтобы «мало» отличалось от (имея в виду дать лишь понятие о методе Виноградова, а не доказательство теоремы Гольдбаха—Виноградова, мы не уточняем здесь и в дальнейшем смысла выражения «мало отличается»; на самом деле в доказательстве И. М. Виноградова речь идет о строго определенных неравенствах, связанных с большими вычислениями). Таким образом,

где знак указывает на то, что левая часть последнего соотношения шало» отличается от средней его части.

Разобьем далее каждую из сумм

на суммы распространенные на простые числа удовлетворяющие соотношению и принадлежащие арифметическим прогрессиям где принимает все значения от 0 до взаимно простые с Но

и, следовательно,

где — число простых чисел, удовлетворяющих условиям и принадлежащих арифметической прогрессии В развитие формулы (14) для числа простых чисел, не превосходящих х, установлено, что для значений , «малых», по сравнению с разностью , мало отличается от где функция Эйлера. Это — арифметическая функция (т. е. функция, определенная для натуральных представляющая число целых положительных чисел, не превосходящих и взаимно простых с Ввиду (44), таким образом, можно получить, что

В выражении, стоящем в правой части (45), лишь первый множитель зависит от I, т. е. от выбора арифметической прогрессии мы рассматриваем сейчас как фиксированное). После суммирования по I получается, что

и далее, ввиду (42):

причем

что позволяет заменить (46) соотношением

После суммирования по М устанавливается, что

Входящая в правую часть соотношения (48) сумма

где суммирование распространяется на натуральные I, не превосходящие

и взаимно простые с ним, выражается через арифметическую функцию определенную следующим образом: если делится на квадрат целого числа, большего единицы; если , где — различные простые. Именно, при взаимно простых

Поэтому уравнение (48) можно записать в виде

Ввиду того, что

В соответствии с определением имеем

где при данном суммирование ведется по всем неотрицательным а, меньшим Так как то, вследствие (50),

Введем обозначение

Из соотношения (52) следует, что

Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что представляет собой некоторое аналитическое выражение, которое удается

приближенно подсчитать; именно, оказывается, что

Выражение, стоящее в правой части соотношения (54) множителем при «мало» отличается от суммы бесконечного ряда

так что, благодаря (54) и (55), удается установить, что

или, точнее говоря,

где

Заметим, что арифметическое выражение может быть представлено в виде

где С — некоторая постоянная, и произведение распространено на все простые делители числа причем, как показывают вычисления,

Оценка интеграла по дополнительным отрезкам. Перейдем теперь к оценке суммы интегралов по дополнительным отрезкам. Так как модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подинтегральной функции и при действительном то

где представляет наибольшее значение при а, принадлежащих дополнительным отрезкам (мы усилили неравенство, взяв множителем при интеграл, распространенный на весь отрезок

Но квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на сопряженное с ним комплексное число, и, следовательно,

где ввиду (36)

так как Поэтому неравенство (62) можно переписать в виде

или в виде

Но интеграл, входящий в неравенство (63), в соответствии со сказанным в начале настоящего параграфа, представляет число решений в простых числах не превосходящих уравнения или попросту число простых чисел, не превосходящих т. е. Согласно результату (12) Чебышева

где В — постоянная. Таким образом,

где, повторяем, представляет наибольшее значение на дополнительных отрезках. Ввиду (58) и (59) для доказательства теоремы Гольдбаха—Виноградова остается показать, что имеет порядок меньший, чем однако установление этого факта представляет

наибольшую трудность и является центральным местом всего доказательства рассматриваемой теоремы.

Каждое а, принадлежащее одному из дополнительных интервалов, представимо в виде где и Вопрос состоит, таким образом, в оценке модуля тригонометрической суммы

при указанных предположениях. Виноградов, в частности, установил, что

при этом он использовал одно указанное им весьма важное тождество, связанное с уже знакомой нам функцией

К сожалению, здесь нет возможности дать доказательство равенства (65); читателям, желающим познакомиться с этим доказательством, следует обратиться к главе X книги И. М. Виноградова «Метод тригонометрических сумм в теории чисел».

Из (65) и (64), как уже отмечалось, вытекает, что

Таким образом, ввиду (40), (58) и (59)

где

и имеет значение (60), причем, ввиду (61), Этими завершается доказательство теоремы.

1
Оглавление
email@scask.ru