Уравнения движения.

1. Важный пример выражения физического закона дифференциальным уравнением доставляют уравнения равновесия или уравнения движения среды. Пусть среда состоит из материальных частиц, движущихся со своими скоростями. Выделим, как и в первом примере, мысленно в нашей среде некоторый объем , ограниченный поверхностью и заполненный частицами вещества среды, и напишем третий закон Ньютона для частиц, находящихся в этом объеме. Третий закон Ньютона гласит, что при всяком движении среды скорость изменения суммарного количества движения всех точек некоторой системы равно сумме импульсов всех сил, приложенных к этому объему. Количество движения, как известно из механики, представляет собою векторную величину

Частицы, заполнявшие с плотностью малый объем через время будут заполнять с некоторой: новой плотностью новый объем но их общая масса будет прежней

Произошедшее за то же время изменение скорости до некоторого значения , т. е. на величину влечет изменение количества движения на величину

или в единицу времени:

Суммируя по всем частицам, находившимся в объеме 12, получим, что скорость изменения их количества движения равна

Здесь производные обозначают скорость изменения той или иной составляющей не в данной точке пространства, а для данной движущейся частицы. Это подчеркивается обозначением — вместо. Как известно, .

Силы, приложенные к объему, могут быть двух родов: силы объемные, действующие на каждую частицу, лежащую внутри объема, и силы поверхностные или напряжения, приложенные к поверхности ограничивающей этот объем. Первые силы суть силы дальнодействия, а вторые — силы близкодействия.

Для того чтобы пояснить сказанное, допустим, что рассматриваемая среда представляет собой жидкость. Поверхностные силы, действующие на элемент поверхности будут в этом случае иметь величину где — давление жидкости, и будут направлены в сторону, обратную внешней нормали.

Если обозначить единичный вектор, направленный по нормали к поверхности через то силы, приложенные к участку будут равны

Пусть, кроме того, обозначает вектор внешних сил, приложенных к единице объема. Тогда наше уравнение запишется в виде

Это уравнение представляет собою уравнение движения в интегральной форме. Оно может быть преобразовано в уравнение в дифференциальной форме так же, как уравнение неразрывности было преобразовано в дифференциальное уравнение (1). В результате мы придем к системе:

Эта система и выражает в дифференциальной форме третий закон Ньютона.

2. Другим характерным примером применения законов механики в дифференциальной форме является уравнение колебаний струны. Струной называют очень тонкое длинное тело из упругого вещества, которое приобретает гибкость благодаря своей малой толщине. Струна обычно бывает сильно натянута. Если мы мысленно проведем в нашей струне сечение, разделив ее в какой-либо точке х на две части, то со стороны каждого из отрезков струны на другой будет действовать сила, равная натяжению и направленная по касательной к линии струны.

Рис. 2.

Представим себе некоторый участок струны. Будем обозначать отклонение точки струны от положения равновесия через Предполагается, что колебание струны происходит в одной плоскости и состоит в смещениях, перпендикулярных к оси Представим отклонение и графически в некоторый момент времени (рис. 2). Выделим на чертеже участок струны между точками . В этих точках будут действовать две силы, равные натяжению Т и направленные каждая соответственно по касательной к и

Если участок струны имеет некоторую кривизну, то равнодействующая этих двух сил не будет равна нулю. Эта равнодействующая на основании законов механики должна равняться скорости изменения количества движения нашего участка.

Пусть масса, приходящаяся на каждый сантиметр длины струны, равна р. Тогда скорость изменения количества движения будет

Если угол, составленный касательной к струне с осью обозначить через то мы будем иметь

Это и есть основное уравнение, выражающее третий закон механики в интегральной форме. Легко выразить его в дифференциальной форме. Мы имеем очевидно

На основании известных теорем дифференциального исчисления легко связать с неизвестной функцией . Мы получим

и, приближенно считая, что мало, имеем

Тогда

Последнее уравнение и представляет собою уравнение колебаний струны в дифференциальной форме.