Выбор вычислительного метода.

Всякие вычисления в конечном итоге могут быть приведены к выполнению четырех арифметических действий — сложению, вычитанию, умножению и делению. Указать метод вычисления это значит указать, какие следует взять исходные данные для начала вычислений и в каком порядке и какие арифметические действия нужно выполнять, чтобы получить желаемые результаты. Мы хотим на примере очень простого подсчета показать, как много в организации вычислений зависит от опыта и осведомленности математика, на обязанности которого лежит подготовка вычислений, а каких результатов можно достигнуть, если воспользоваться специальными, целесообразно выбранными вычислительными приемами.

Пусть надлежит решить систему уравнений с неизвестными

В теории алгебраических систем (глава XVI, § 3) дается явное выражение значений неизвестных через определители

Здесь есть определитель системы

а — определитель, получающийся из путем замены в нем столбца на столбец свободных членов системы.

Предположим, что мы захотели бы воспользоваться формулами (16) для решения системы и начали вычислять определители на основании их обычного определения, не прибегая ни к каким упрощающим приемам. Какое число операций умножения и деления мы должны будем для этого сделать? (Сложения и вычитания мы не будем принимать во внимание, как действия более простые.) Нам предстоит вычислить определитель порядка Каждый из них состоит из членов, причем каждый член есть произведение сомножителей и для его подсчета потребуется умножений. При вычислении всех определителей нам нужно будет выполнить умножений. Общее число необходимых умножений и делений будет равно

Изберем теперь другой способ решения системы и воспользуемся методом исключений. Схему вычислений, соответствующую этому методу,

связывают с именем Гаусса. Найдем из первого уравнения системы

Для этого потребуется делений. Подстановка в каждое из следующих уравнений потребует умножений. Исключение и составление системы уравнений с неизвестными потребует всего умножений и делений. Продолжая эти подсчеты, найдем, что для вычисления всех значений методом исключений потребовалось бы умножений и делений. Сопоставим эти два результата. Для решения системы пяти уравнений в первом случае потребовалось бы 2885 умножений и делений, а во втором только 75. Для системы десяти уравнений число операций будет соответственно Таким образом, объем вычислительной работы может весьма сильно зависеть от выбора метода счета. При организации вычислительного труда часто оказывается возможным путем рационального выбора метода значительно сократить объем работы.