Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. СВЯЗЬ ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ЗАДАЧАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Связь с задачами гидродинамики.

Условия Коши — Римана связывают между собой задачи математической физики и теорию функций комплексного переменного. Проиллюстрируем это на задачах гидродинамики.

Среди всех возможных движений жидкой среды важпую роль играют установившиеся движения. Так называются движения жидкости, для которых не меняется со временем картина распределения скоростей в пространстве. Так, например, наблюдатель, стоящий на мосту и наблюдающий за обтеканием мостового быка рекой, видит установившуюся картину обтекания. Иногда течение становится установившимся для наблюдателя, движущегося вместе с некоторым телом. Если при движении парохода за возмущенным движением воды будет наблюдать человек, стоящий на берегу, то для него картина движения воды не будет установившейся, но для наблюдателя, находящегося на пароходе, течение воды уже будет установившимся. Для пассажира,

сидящего в самолете, который летит с постоянной скоростью, возмущенное самолетом движение воздуха тоже будет установившимся.

При установившемся движении вектор скорости V частицы жидкости, проходящей через заданную точку пространства, не меняется со временем. Если движение — установившееся для движущегося наблюдателя, то вектор скорости не будет меняться со временем в точках, имеющих постоянные координаты в системе координат, (движущейся вместе с наблюдателем.

Среди движений жидкости большое значение получил класс плоско-параллельных движений. Это — течения, при которых скорости частиц всюду параллельны некоторой плоскости, а картина распределевия скоростей одинакова во всех плоскостях, параллельных заданной плоскости.

Если мы представим себе беспредельную массу жидкости, обтекающую цилиндрическое тело перпендикулярно его образующей, то во всех плоскостях, перпендикулярных образующей, картина распределения скоростей будет одинакова и движение жидкости будет плоскопараллельным. Иногда движение жидкости можно приближенно рассчитывать как [плоскопараллельное. Например, если мы хотим определить картину скоростей течения воздуха в плоскости, перпендикулярной крылу самолета, то в случае, когда эта плоскость расположена не очень близко к фюзеляжу или к концу крыла, движение воздуха можно приближенно считать плоско параллельным.

Покажем, как может быть применена теория функций комплексного переменного к изучению установившихся плоскопараллельных течений жидкости. При этом мы будем считать, что жидкость несжимаема, т. е. что ее плотность не меняется с изменением давления. Таким свойством обладает, например, вода, но оказывается, что даже воздух можно при изучении его движений считать несжимаемым, если скорости движения не очень велики. Гипотеза о несжимаемости воздуха не вносит заметных искажений, если скорости движения не превосходят от скорости звука

Течение жидкости характеризуется распределением скоростей ее частиц. Если течение плоскопараллельное, то достаточно знать скорости частиц в одной из плоскостей, параллельно которым происходит движение.

Будем обозначать через вектор скорости частицы, проходящей через точку с координатами в момент времени . В рассматриваемом случае установившегося движения V не зависит от времени. Вектор V будем считать заданным его проекциями и по осям координат. Рассмотрим траектории частиц жидкости. В случае установившихся движений траектории частиц, исходящих из заданных точек пространства, не будут меняться со временем. Если известно поле скорости, т. е. известны компоненты скорости как функции

то траектории частиц можно определить, пользуясь тем, что скорость частицы всегда касательна к траектории. Это дает

Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение для траекторий. Траектории частиц установившегося движения носят название ланий тока. Через каждую точку плоскости движения проходит одна линия тока.

Важную роль играет понятие функции тока. Фиксируем какую-нибудь линию тока и рассмотрим воображаемый канал, ограниченный цилиндрическими поверхностями (с образующей, перпендикулярной плоскости течения), проведенными через линию тока и другую линяю тока и двумя плоскостями, параллельными плоскостям движения и отстоящими одна от другой на расстоянии, равном единице (рис. 5). Если мы рассмотрим два произвольных поперечных сечения нашего канала, определенных сечениями то количество жидкости, протекающее через сечения в единицу времени, будет одно и то же. В самом деле, внутри объема, определяемого стенками количество жидкости, при постоянной плотности, не может изменяться. С другой стороны, боковые стенки канала образованы линиями тока, поэтому сквозь них жидкость не протекает, и, следовательно, сколько втекает жидкости в единицу времени через столько же вытекает через

Рис. 5.

Функцией тока называется функция принимающая на линии тока постоянное значение, равное количеству жидкости, протекающему в единицу времени через поперечное сечение канала, построенного на линиях

Функция тока определена с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной линии тока Если известна функция тока, то уравнения линий тока, очевидно, будут

Компоненты скорости течения выражаются через производные от функции тока. Чтобы получить эти выражения, рассмотрим канал, образованный линией тока С, проходящей через заданную точку линией тока С, проходящей через близкую точку

и двумя параллельными плоскости движения плоскостями, отстоящими на расстоянии, равном единице. Вычислим количество жидкости протекающее за время через поперечное сечение канала.

С одной стороны, в силу определения функции тока

С другой стороны, равно (рис. 6) объему тела, полученного проведением в каждой точке сечения вектора . Если мало, то мы можем считать, что V на всем постоянен и равен значению V в точке М. Площадь основания полученного параллелепипеда равна (на рис. 6 единичная толщина слоя указана), а высота — проекции вектора на ось поэтому

следовательно,

Рис. 6.

Разделив это равенство на после перехода к пределу получим

Аналогичное рассуждение дает для второй компоненты

Для определения поля скоростей, наряду с функцией тока, вводят еще вторую функцию. Ее введение связано с рассмотрением вращения малых частиц жидкости. Если мы вообразим, что отдельпая малая частица жидкости затвердела, то она, вообще говоря, будет иметь вращательное движение. Однако если движение жидкости возникло из покоя и внутреннее трение между частицами жидкости отсутствует, то оказывается, что вращение частиц в жидкости не может возникнуть. Такие движения без вращения частиц носят название безвихревых и играют основную роль при изучении движения тел в жидкости. В гидромеханике устанавливается, что для безвихревых движений существует вторая функция через которую компоненты скорости выражаются формулами

функция называется потенциалом скоростей течения. Будем рассматривать дальше движения с потенциалом скоростей.

Сравнение формул для компонент скорости по функции тока и по потенциалу скоростей приводит к следующему замечательному выводу.

Потенциал скоростей и функция тока течения несжимаемой жидкости удовлетворяют уравнениям Коши — Римана

Другими словами, функция комплексного переменного

есть дифференцируемая функция комплексного переменного. Обратно: если мы будем исходить из произвольной дифференцируемой функции комплексного переменного, то ее действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши—Римана и могут быть рассматриваемы как потенциал скоростей и функция тока течения несжимаемой жидкости. Функция называется характеристической функцией течения.

Рассмотрим еще смысл производной Пользуясь, например, формулой (22), имеем

В силу (27) и (26) находим

или, переходя к сопряженным комплексным величинам,

где черта над показывает, что надо взять величину, сопряженную с ней.

Таким образом, вектор скорости течения равен сопряженной величине производной характеристической функции течения.

1
Оглавление
email@scask.ru