§ 2. СВЯЗЬ ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ЗАДАЧАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Связь с задачами гидродинамики.

Условия Коши — Римана связывают между собой задачи математической физики и теорию функций комплексного переменного. Проиллюстрируем это на задачах гидродинамики.

Среди всех возможных движений жидкой среды важпую роль играют установившиеся движения. Так называются движения жидкости, для которых не меняется со временем картина распределения скоростей в пространстве. Так, например, наблюдатель, стоящий на мосту и наблюдающий за обтеканием мостового быка рекой, видит установившуюся картину обтекания. Иногда течение становится установившимся для наблюдателя, движущегося вместе с некоторым телом. Если при движении парохода за возмущенным движением воды будет наблюдать человек, стоящий на берегу, то для него картина движения воды не будет установившейся, но для наблюдателя, находящегося на пароходе, течение воды уже будет установившимся. Для пассажира,

сидящего в самолете, который летит с постоянной скоростью, возмущенное самолетом движение воздуха тоже будет установившимся.

При установившемся движении вектор скорости V частицы жидкости, проходящей через заданную точку пространства, не меняется со временем. Если движение — установившееся для движущегося наблюдателя, то вектор скорости не будет меняться со временем в точках, имеющих постоянные координаты в системе координат, (движущейся вместе с наблюдателем.

Среди движений жидкости большое значение получил класс плоско-параллельных движений. Это — течения, при которых скорости частиц всюду параллельны некоторой плоскости, а картина распределевия скоростей одинакова во всех плоскостях, параллельных заданной плоскости.

Если мы представим себе беспредельную массу жидкости, обтекающую цилиндрическое тело перпендикулярно его образующей, то во всех плоскостях, перпендикулярных образующей, картина распределения скоростей будет одинакова и движение жидкости будет плоскопараллельным. Иногда движение жидкости можно приближенно рассчитывать как [плоскопараллельное. Например, если мы хотим определить картину скоростей течения воздуха в плоскости, перпендикулярной крылу самолета, то в случае, когда эта плоскость расположена не очень близко к фюзеляжу или к концу крыла, движение воздуха можно приближенно считать плоско параллельным.

Покажем, как может быть применена теория функций комплексного переменного к изучению установившихся плоскопараллельных течений жидкости. При этом мы будем считать, что жидкость несжимаема, т. е. что ее плотность не меняется с изменением давления. Таким свойством обладает, например, вода, но оказывается, что даже воздух можно при изучении его движений считать несжимаемым, если скорости движения не очень велики. Гипотеза о несжимаемости воздуха не вносит заметных искажений, если скорости движения не превосходят от скорости звука

Течение жидкости характеризуется распределением скоростей ее частиц. Если течение плоскопараллельное, то достаточно знать скорости частиц в одной из плоскостей, параллельно которым происходит движение.

Будем обозначать через вектор скорости частицы, проходящей через точку с координатами в момент времени . В рассматриваемом случае установившегося движения V не зависит от времени. Вектор V будем считать заданным его проекциями и по осям координат. Рассмотрим траектории частиц жидкости. В случае установившихся движений траектории частиц, исходящих из заданных точек пространства, не будут меняться со временем. Если известно поле скорости, т. е. известны компоненты скорости как функции

то траектории частиц можно определить, пользуясь тем, что скорость частицы всегда касательна к траектории. Это дает

Полученное уравнение есть дифференциальное уравнение для траекторий. Траектории частиц установившегося движения носят название ланий тока. Через каждую точку плоскости движения проходит одна линия тока.

Важную роль играет понятие функции тока. Фиксируем какую-нибудь линию тока и рассмотрим воображаемый канал, ограниченный цилиндрическими поверхностями (с образующей, перпендикулярной плоскости течения), проведенными через линию тока и другую линяю тока и двумя плоскостями, параллельными плоскостям движения и отстоящими одна от другой на расстоянии, равном единице (рис. 5). Если мы рассмотрим два произвольных поперечных сечения нашего канала, определенных сечениями то количество жидкости, протекающее через сечения в единицу времени, будет одно и то же. В самом деле, внутри объема, определяемого стенками количество жидкости, при постоянной плотности, не может изменяться. С другой стороны, боковые стенки канала образованы линиями тока, поэтому сквозь них жидкость не протекает, и, следовательно, сколько втекает жидкости в единицу времени через столько же вытекает через

Рис. 5.

Функцией тока называется функция принимающая на линии тока постоянное значение, равное количеству жидкости, протекающему в единицу времени через поперечное сечение канала, построенного на линиях

Функция тока определена с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора начальной линии тока Если известна функция тока, то уравнения линий тока, очевидно, будут

Компоненты скорости течения выражаются через производные от функции тока. Чтобы получить эти выражения, рассмотрим канал, образованный линией тока С, проходящей через заданную точку линией тока С, проходящей через близкую точку

и двумя параллельными плоскости движения плоскостями, отстоящими на расстоянии, равном единице. Вычислим количество жидкости протекающее за время через поперечное сечение канала.

С одной стороны, в силу определения функции тока

С другой стороны, равно (рис. 6) объему тела, полученного проведением в каждой точке сечения вектора . Если мало, то мы можем считать, что V на всем постоянен и равен значению V в точке М. Площадь основания полученного параллелепипеда равна (на рис. 6 единичная толщина слоя указана), а высота — проекции вектора на ось поэтому

следовательно,

Рис. 6.

Разделив это равенство на после перехода к пределу получим

Аналогичное рассуждение дает для второй компоненты

Для определения поля скоростей, наряду с функцией тока, вводят еще вторую функцию. Ее введение связано с рассмотрением вращения малых частиц жидкости. Если мы вообразим, что отдельпая малая частица жидкости затвердела, то она, вообще говоря, будет иметь вращательное движение. Однако если движение жидкости возникло из покоя и внутреннее трение между частицами жидкости отсутствует, то оказывается, что вращение частиц в жидкости не может возникнуть. Такие движения без вращения частиц носят название безвихревых и играют основную роль при изучении движения тел в жидкости. В гидромеханике устанавливается, что для безвихревых движений существует вторая функция через которую компоненты скорости выражаются формулами

функция называется потенциалом скоростей течения. Будем рассматривать дальше движения с потенциалом скоростей.

Сравнение формул для компонент скорости по функции тока и по потенциалу скоростей приводит к следующему замечательному выводу.

Потенциал скоростей и функция тока течения несжимаемой жидкости удовлетворяют уравнениям Коши — Римана

Другими словами, функция комплексного переменного

есть дифференцируемая функция комплексного переменного. Обратно: если мы будем исходить из произвольной дифференцируемой функции комплексного переменного, то ее действительная и мнимая части удовлетворяют условиям Коши—Римана и могут быть рассматриваемы как потенциал скоростей и функция тока течения несжимаемой жидкости. Функция называется характеристической функцией течения.

Рассмотрим еще смысл производной Пользуясь, например, формулой (22), имеем

В силу (27) и (26) находим

или, переходя к сопряженным комплексным величинам,

где черта над показывает, что надо взять величину, сопряженную с ней.

Таким образом, вектор скорости течения равен сопряженной величине производной характеристической функции течения.