Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава XIII. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

§ 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Характерные особенности приближенных методов.

Во многих случаях применение математики к изучению явлений внешнего мира основывается на том, что законы, управляющие этими явлениями, имеют количественный характер и могут быть записаны в виде некоторых формул, уравнений или неравенств. Это дает возможность численным путем исследовать сами явления и делать столь необходимые для практики расчеты.

После того как количественный закон найден, можно уже пользоваться чисто математическими методами исследования. Для определенности изложения мы будем иметь в виду какой-либо закон, записанный в форме уравнения. Это может быть закон движения тела в ньютоновой механике, закон распространения тепла или распространения электромагнитных колебаний и т. п. О таких уравнениях подробно говорилось в главах V и VI. К уравнению обычно присоединяются еще дополнительные условия того или иного вида (в главах V и VI это были граничные и начальные условия), определяющие каждое отдельное решение уравнения.

Первыми и основными математическими задачами здесь будут следующие:

1) Установить разрешимость задачи. Даже если разрешимость задачи довольно очевидна с физической точки зрения, математическое доказательство разрешимости строго формулированной задачи обычно является свидетельством правильности самой математической поста новки задачи. Установить разрешимость удается в широком классе случаев.

2) Попытаться найти явное выражение в виде формулы для величины, характеризующей изучаемое явление. Такое выражение обычно удается чайти лишь в небольшом числе самых простых случаев. При этом не едко оказывается, что явное выражение решения получается настолько сложным, что пользоваться им для исследования явления и нахождения необходимых числовых характеристик весьма затруднительно, а порою даже и совсем невозможно.

3) Указать процесс, при помощи которого можно было бы построить приближенную формулу, дающую решение с какой угодно заданной степенью точности. Последнее удается в широком классе случаев.

4) Наиболее же часто бывает возможно указать один или несколько приемов, позволяющих найти численным путем нужное решение задачи.

Развитие таких численных и, отчасти, приближенных методов решения проблем естествознания и техники является задачей особой ветви математики, которую сейчас обычно называют вычислительной математикой.

Методы вычислительной математики, разумеется, приближенные методы, так как всякую величину мы можем при помощи вычислений найти только с точностью до определенного числа значащих цифр, например на пять, шесть и т. д. десятичных знаков.

Для приложений этого достаточно, так как знание точного Значения какой-либо величины часто не является необходимым. В технически вопросах, например, искомые величины обычно служат для определения размеров и других параметров изделий, подлежащих изготовлений. Всякое же изделие изготовляется лишь приближенно, и поэтому технические расчеты с точностью, превосходящей «допуски», принятые для изделия, очевидно, не имеют значения.

Вычисления поэтому нет надобности производить по абсолютно точным формулам, а для отыскания требуемых величин нет надобности решать абсолютно точные уравнения. Точные формулы и уравнения допустимо заменять заведомо неточными, если они настолько близки к ним, что имеется уверенность, что ошибка, происходящая от такой замены, не превысит заданной границы.

Позже мы вернемся к указанной здесь возможности замены одних задач другими. Сейчас же мы хотели подчеркнуть первую особенность вычислительных методов — они по самому своему характеру могут дать, как правило, только приближенные результаты, а только такие результаты и нужны для практики.

Обратим внимание также на другую черту численных методов математики. При любых вычислениях можно производить операции только с конечным числом чисел и после вычислений получить лишь конечное число результатов. Поэтому каждая задача, которую мы предполагаем решать численным путем, должна быть предварительно приведена к такому виду, чтобы можно было получить все результаты после конечного числа арифметических действий. Если мы выполняем вычисления по какой-либо формуле, то ее следует заранее преобразовать так, чтобы в ней осталось лишь конечное число членов с конечным числом параметров. Известно, например, что весьма многие функции могут быть представлены в виде суммы степенного ряда

Так, функция где под понимается радианцая мера угла, может быть разложена в стеленной ряд

Чтобы найти точное значение мы должны были бы выполнить суммирование «всех» членов ряда (1), что, вообще говоря, невозможно. Чтобы найти приближенно, достаточно взять только некоторое конечное число членов ряда. Например, как это можно показать, для вычисления а; с точностью до для углов от нуля до половины прямого угла достаточно в степенном ряде сохранить члены до включительно и приближенно заменить многочленом

При численном решении задач математического анализа, в которых нахождению подлежит некоторая функция, приходится тем или иным способом заменять эту задачу другой задачей о нахождении нескольких численных параметров, знание которых позволяет приближенно вычислить неизвестную функцию. Поясним это на примерах.

Пусть на отрезке нужно решить граничную задачу для дифференциального уравнения

с граничными условиями . В одном из возможных приемов решения, в методе Галеркина, исходят из некоторой, системы линейно независимых функций удовлетворяющих граничным условиям (глава VI, § 5). Такую систему выбирдют «пол-ной» в том смысле, что среди интегрируемых на функций ортогональной ко всем будет только функция, равная нулю во всех (точнее, «почти во всех») точках. Условие что удовлетворяет дифференциальному уравнению (2), можно записать в форме требований ортогональности

Допустим, что решение задачи можно разложить в ряд по

Нахождению здесь подлежат коэффициенты При произвольных сумма ряда (4) будет удовлетворять граничным условиям. Остается выбрать так, чтобы выполнялись равенства (3). Коэффициентов бесконечное множество, и вычислить их все, вообще говоря, невозможно. Для упрощения сохраним в правой части (4) лишь конечное число слагаемых и положим приближенно

Удовлетворить равенствам (3) для всех мы не сможем, так как располагаем только произвольными параметрами Поэтому мы вынуждены отказаться от точного решения дифференциального уравнения (2). Но следует ожидать, что сумма (5) будет удовлетворять этому дифференциальному уравнению с малой погрешностью, если будет взято достаточно большим и условие (3) удовлетворено для первых функций Это приводит к уравнениям, фигурирующим в методе Галеркина

Найдя из этих уравнений мы построим приближенное выражение для функции (5).

Аналогично упрощаются формулы при решении вариационных задач по методу Ритца, в приближенном гармоническом анализе функций и во многих других вопросах.

Мы укажем еще один пример упрощения уравнения. Пусть нужно найти функцию у от одного или нескольких аргументов путем решения какого-либо функционального уравнения, например дифференциального или интегрального. В качестве параметров, определяющих функцию у, может быть выбрана совокупность ее значений в некоторой системе точек (на сетке).

Функциональное уравнение мы должны заменить системой численных уравнений относительно неизвестных величин Такую замену, как правило, можно выполнить многими способами. При этом всегда следует позаботиться, чтобы решение численной системы достаточно мало отличалось от решения функционального уравнения.

Вот несколько примеров такой замены. Решая дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера, мы заменяем это уравнение рекурсионной численной схемой, позволяющей приближенно находить следующее значение неизвестной функции по предыдущему значению (глава V, § 5):

При приближенном решении уравнения Лапласа методом сеток это уравнение заменяют линейной алгебраической системой (глава VI, § 5)

Рассмотрим еще один пример такого рода. Пусть требуется численно решить интегральное уравнение

Точки, в которых мы хотим найти значения неизвестной функции обозначим через Для составления системы численных уравнений, заменяющих (6), потребуем выполнения этого равенства не для всех х из промежутка , а только в точках

Затем заменим интеграл какой-либо приближенной квадратурной суммой (по формуле трапеций Симпсона или какой-либо другой) с узлами

Для определения искомых значений получим систему линейных алгебраических уравнений

Заметим, что во всех рассмотренных методах разыскание неизвестной функции заменялось разысканием некоторых параметров, определяющих ее приближенно. Поэтому точность этих методов зависит от того, насколько хорошо функция определяется этой системой параметров, найример, насколько хорошо она может быть аппроксимирована выражением вида (7) или представлена через свои значения в некоторой системе точек. Такого рода вопросы относятся к особому отделу математики, носящему название теории приближения функций (см. главу XII). Из предыдущего видно, что теория приближений имеет очень большое значение для прикладной математики.

1
Оглавление
email@scask.ru