Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава XIII. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА§ 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫХарактерные особенности приближенных методов.Во многих случаях применение математики к изучению явлений внешнего мира основывается на том, что законы, управляющие этими явлениями, имеют количественный характер и могут быть записаны в виде некоторых формул, уравнений или неравенств. Это дает возможность численным путем исследовать сами явления и делать столь необходимые для практики расчеты. После того как количественный закон найден, можно уже пользоваться чисто математическими методами исследования. Для определенности изложения мы будем иметь в виду какой-либо закон, записанный в форме уравнения. Это может быть закон движения тела в ньютоновой механике, закон распространения тепла или распространения электромагнитных колебаний и т. п. О таких уравнениях подробно говорилось в главах V и VI. К уравнению обычно присоединяются еще дополнительные условия того или иного вида (в главах V и VI это были граничные и начальные условия), определяющие каждое отдельное решение уравнения. Первыми и основными математическими задачами здесь будут следующие: 1) Установить разрешимость задачи. Даже если разрешимость задачи довольно очевидна с физической точки зрения, математическое доказательство разрешимости строго формулированной задачи обычно является свидетельством правильности самой математической поста новки задачи. Установить разрешимость удается в широком классе случаев. 2) Попытаться найти явное выражение в виде формулы для величины, характеризующей изучаемое явление. Такое выражение обычно удается чайти лишь в небольшом числе самых простых случаев. При этом не едко оказывается, что явное выражение решения получается настолько сложным, что пользоваться им для исследования явления и нахождения необходимых числовых характеристик весьма затруднительно, а порою даже и совсем невозможно. 3) Указать процесс, при помощи которого можно было бы построить приближенную формулу, дающую решение с какой угодно заданной степенью точности. Последнее удается в широком классе случаев. 4) Наиболее же часто бывает возможно указать один или несколько приемов, позволяющих найти численным путем нужное решение задачи. Развитие таких численных и, отчасти, приближенных методов решения проблем естествознания и техники является задачей особой ветви математики, которую сейчас обычно называют вычислительной математикой. Методы вычислительной математики, разумеется, приближенные методы, так как всякую величину мы можем при помощи вычислений найти только с точностью до определенного числа значащих цифр, например на пять, шесть и т. д. десятичных знаков. Для приложений этого достаточно, так как знание точного Значения какой-либо величины часто не является необходимым. В технически вопросах, например, искомые величины обычно служат для определения размеров и других параметров изделий, подлежащих изготовлений. Всякое же изделие изготовляется лишь приближенно, и поэтому технические расчеты с точностью, превосходящей «допуски», принятые для изделия, очевидно, не имеют значения. Вычисления поэтому нет надобности производить по абсолютно точным формулам, а для отыскания требуемых величин нет надобности решать абсолютно точные уравнения. Точные формулы и уравнения допустимо заменять заведомо неточными, если они настолько близки к ним, что имеется уверенность, что ошибка, происходящая от такой замены, не превысит заданной границы. Позже мы вернемся к указанной здесь возможности замены одних задач другими. Сейчас же мы хотели подчеркнуть первую особенность вычислительных методов — они по самому своему характеру могут дать, как правило, только приближенные результаты, а только такие результаты и нужны для практики. Обратим внимание также на другую черту численных методов математики. При любых вычислениях можно производить операции только с конечным числом чисел и после вычислений получить лишь конечное число результатов. Поэтому каждая задача, которую мы предполагаем решать численным путем, должна быть предварительно приведена к такому виду, чтобы можно было получить все результаты после конечного числа арифметических действий. Если мы выполняем вычисления по какой-либо формуле, то ее следует заранее преобразовать так, чтобы в ней осталось лишь конечное число членов с конечным числом параметров. Известно, например, что весьма многие функции могут быть представлены в виде суммы степенного ряда
Так, функция
Чтобы найти точное значение При численном решении задач математического анализа, в которых нахождению подлежит некоторая функция, приходится тем или иным способом заменять эту задачу другой задачей о нахождении нескольких численных параметров, знание которых позволяет приближенно вычислить неизвестную функцию. Поясним это на примерах. Пусть на отрезке
с граничными условиями
Допустим, что решение задачи можно разложить в ряд по
Нахождению здесь подлежат коэффициенты
Удовлетворить равенствам (3) для всех
Найдя из этих уравнений Аналогично упрощаются формулы при решении вариационных задач по методу Ритца, в приближенном гармоническом анализе функций и во многих других вопросах. Мы укажем еще один пример упрощения уравнения. Пусть нужно найти функцию у от одного или нескольких аргументов путем решения какого-либо функционального уравнения, например дифференциального или интегрального. В качестве параметров, определяющих функцию у, может быть выбрана совокупность ее значений Функциональное уравнение мы должны заменить системой численных уравнений относительно Вот несколько примеров такой замены. Решая дифференциальное уравнение первого порядка
При приближенном решении уравнения Лапласа
Рассмотрим еще один пример такого рода. Пусть требуется численно решить интегральное уравнение
Точки, в которых мы хотим найти значения неизвестной функции
Затем заменим интеграл какой-либо приближенной квадратурной суммой (по формуле трапеций Симпсона или какой-либо другой) с узлами
Заметим, что во всех рассмотренных методах разыскание неизвестной функции заменялось разысканием некоторых параметров, определяющих ее приближенно. Поэтому точность этих методов зависит от того, насколько хорошо функция определяется этой системой параметров, найример, насколько хорошо она может быть аппроксимирована выражением вида (7) или представлена через свои значения в некоторой системе точек. Такого рода вопросы относятся к особому отделу математики, носящему название теории приближения функций (см. главу XII). Из предыдущего видно, что теория приближений имеет очень большое значение для прикладной математики.
|
1 |
Оглавление
|