§ 6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Пусть точка лежит внутри области где мы рассматриваем дифференциальное уравнение

Если можно указать такую окрестность И точки Р, через каждую точку которой проходит одна и только одна интегральная линия уравнения (47), то точку Р называют обыкновенной точкой уравнения (47). Если же такой окрестности нельзя указать, то точку Р называют особой точкой этого уравнения. Рассмотрение особых точек имеет большое значение для качественной теории дифференциальных уравнений, о которой мы расскажем в следующем параграфе.

Особенно большое значение имеют так называемые изолированные особые точки, т. е. такие особые точки, в некоторой окрестности которых

нет других особых точек. В приложениях, они часто встречаются, при исследовании уравнений вида (47), где функции, имеющие непрерывные производные по и у высоких порядков. Для таких уравнений все внутренние точки рассматриваемой области, где или являются обыкновенными точками. Рассмотрим какую-нибудь внутреннюю точку , где . Для упрощения записи будем предполагать, что Этого всегда можно достигнуть, перенося начало координат в точку Разлагая тогда по формуле Тейлора по степеням х и у и ограничиваясь при этом членами первого порядка, получим в окрестности точки (0, 0)

где — некоторые функции от х и у, такие, что

Такой вид имеют уравнения (45) и (46). Уравнение (45) не определяет ни ни при Если определитель

то, как бы мы ни задали в начале координат, начало координат будет точкой разрыва для значении и так как они будут стремиться к различным пределам в зависимости от выбора пути, по которому мы будем приближаться к началу. Начало координат является особой точкой для нашего дифференциального уравнения.

Доказано, что на характер поведения интегральных кривых около изолированной особой точки (у нас начала координат) стоящие в числителе и знаменателе функции не оказывают никакого влияния, если только действительные части обоих корней уравнения

отличны от нуля. Поэтому, чтобы составить представление об этом поведении, изучим поведение около начала координат интегральных линий уравнения

для которого определитель

Заметим что. характер расположения интегральных кривых в окрестности особой точки дифференциального уравнения представляет большой интерес для многих задач механики, например для исследования траекторий движений вблизи положения равновесия.

Доказано, на плоскости всегда можно выбрать координаты связанные с х и у равенствами

где — действительные числа, так что уравнение (50) преобразуется к одному из следующих трех типов:

Здесь — корни уравнения

Если эти корни действительны и различны, то уравнение (50) приводится к виду (52). Если эти корни одинаковы, то уравнение (50) приводится или к виду (52), или к виду (53) в зависимости от того, будет ли или Если корни уравнения (55) комплексны, то уравненйе (51) приводится к виду (54).

Рассмотрим каждое из уравнений (52), (53), (54). Предварительно заметим следующее.

Если оси были взаимно перпендикулярны, то оси уже не будут, вообще говоря, взаимно перпендикулярны. Но мы для упрощения выполнения чертежей считаем их взаимно перпендикулярными. Кроме того, при преобразовании (51) масштабы по осям также могли исказиться; они могут быть не теми, какие были первоначально взяты на осях Ох и Оу. Мы же, опять для упрощения чертежей, считаем, что масштабы не искажаются. Поэтому, например, вместо концентрических окружностей, как на рис. 8 (стр. 26), вообще говоря, может получиться семейство подобных и подобно расположенных эллипсов с общим центром в начале координат.

Все интегральные линии уравнения (52) задаются соотношением

где а и — произвольные постоянные.

Интегральные линии уравнения (52) схематически изображены на рис. 10; при этом мы считали, что . В этом случае все интегральные линии, кроме одной — оси касаются в начале координат оси Случай сводится к случаю к заменой на на , т. е. нужно поменять роли осей При уравнение (52) обращается в уравнение (30), схема поведения интегральных линий которого изображена на рис. 7.

Рис. 10.

Рис. 11.

Схема поведения интегральных линий уравнения (52) при к изображена на рис. И. В этом случае имеются только две интегральные линии, которые проходят через точку О: это ось и ось Всякая же другая интегральная линия, приблизившись к О до некоторого минимального расстояния, удаляется от этой точки. В этом случае говорят, что в точке О имеется седло, потому что интегральные линии похожи на изображение на карте линий уровня горного перевала (седла).

Все интегральные линии уравнения (53) даются уравнением

где а и — произвольные постоянные. Схематически они изображены на рис. 12; все они касаются в начале координат оси

Если всякая интегральная линия, попавшая в некоторую окрестность особой точки О, приходит к этой точке и притом по определенному направленйю, т. е. имеет в нуле определенную касательную, как это показано на рис. 10 и 12, то говорят, что в точке О имеется узел.

Уравнение (54) легче всего проинтегрировать, если перейти к полярным координатам и 9, положив

Тогда это уравнение перейдет в уравнение

откуда

Если то все интегральные линии приближаются к точке О, бесконечно навиваясь на эту точку, когда (рис. 13).

Рис. 12.

Рис. 13.

Если то же происходит, когда . В этих случаях точку О называют фокусом. Если же то семейство интегральных линий (56) состоит из кругов с центром в точке О. Вообще, если некоторая окрестность точки О заполнена замкнутыми интегральными линиями, содержащими внутри себя точку О, то такую точку называют центром.

Центр может легко перейти в фокус, если к числителю и знаменателю правой части уравнения (54) прибавить член как угодно высокого порядка; следовательно, в этом случае поведение интегральных линий вблизи особой точки не определяется членами порядка.

Уравнение (55), соответствующее уравнению (45), совпадает с характеристическим уравнением (19). Поэтому рис. 10 и 12 схематически представляют поведение на фазовой плоскости линий

соответствующих решениям уравнения (6) при действительных и одного знака; рис. И соответствует действительным разных

знаков, а рис. 13 и 8 (случай центра) — комплексным Если действительные части и отрицательны, то точка приближается к 0 при в этом случае точка соответствует устойчивому равновесию. Если же действительная часть одного из чисел положительна, то в точке нет устойчивого равновесия.