Метод разделения переменных.

Для построения необходимого набора упомянутых решений существует прием, называемый разделением переменных или методом Фурье.

Разберем этот прием подробно на примере решения задачи

Отыскивая частное решение уравнения, сделаем прежде всего предположение, что искомая функция и удовлетворяет граничному условию и представляет собой произведение двух функций, из которых одна зависит только от времени а другая — от пространственных переменных

Подставим это предполагаемое решение в наше уравнение. Мы будем иметь

Разделив обе части на придем к равенству

В правой части этого равенства стоит функция только от пространственных переменных, слева — величина, от пространственных координат не зависящая. Отсюда видно, что написанное равенство может быть справедливым лишь в том случае, когда и справа и слева стоят постоянные величины. Мы приходим к системе двух уравнений

Стоящую справа постоянную величину мы обозначили через чтобы подчеркнуть, что она получится отрицательной (это может быть строго доказано). Значок к поставлен с той целью, чтобы отметить, что получается бесконечное множество возможных значений причем соответствующие им решения образуют в известном смысле полную систему функций.

Освобождаясь от знаменателя в обоих уравнениях, мы получим

Первое из написанных уравнений, как мы знаем, имеет простое решение

где произвольные постоянные. Это решение можно еще упростить с помощью введения вспомогательного угла . Положим

Тогда Функция Т представляет собой гармоническое колебание с частотой сдвинутое на фазу .

Наиболее трудной и интересной оказывается задача об отыскании решений уравнения

при заданных однородных граничных условиях, например при условии

(где — граница рассматриваемого объема или при каком-либо ином, также однородном условии. Решения этой задачи не всегда легко построить в конечном виде через известные функции, однако решения эти всегда существуют и их можно найти с любой заданной точностью.

Уравнение при условии имеет прежде всего очевидное решение Решение это — тривиальное и совершенно бесполезно для наших целей. Если любое случайно взятое число, то других решений наша задача, вообще говоря, и не будет иметь. Однако существуют такие значения для которых уравнение имеет нетривиальное решение.

Все возможные значения постоянной определяются как раз из того требования, чтобы при каждом из таких значений уравнение (19) имело нетривиальное, отличное от тождественного нуля решение, удовлетворяющее условию (Отсюда так же следует, что величины, обозначенные через — оказываются отрицательными.)

При каждом из возможных значений из уравнения (19) находится хотя бы одна функция Она позволяет построить частное решение волнового уравнения (18) в виде

Такое решение называют собственным колебанием рассматриваемого объема. Постоянная есть частота собственного колебания, а функция

дает нам его форму. Эту функцию принято называть собственной фуцщивй. Для всех моментов времени функция как функция переменных будет отличаться от функции только масштабом.

Мы не имеем сейчас возможности подробно доказывать все замечательные свойства собственных колебаний и собственных функций и ограничимся лишь их перечислением.

Первое свойство собственных колебаний состоит в том, что для всякого объема существует бесчисленное множество частот собственных колебаний или, как их еще называют, собственных частот. Эти частоты стремятся к бесконечности при возрастании номера к.

Второе свойство собственных колебаний называется ортогональностью. Оно состоит в том, что интегралы по области от произведения собственных функций, отвечающих различным равны нулю

При мы будем всегда считать

Этого всегда можно достичь, умножив функцию на соответственно подобранную постоянную, отчего она не перестанет удовлетворять уравнению (19) и условию

Наконец, третье свойство собственных колебаний заключается в том, что если мы не пропустим ни одного значения то с помощью собственных функций мы можем с любой точностью представить совершенно произвольную функцию лишь бы она удовлетворяла граничным условиям и не имела разрыва у первых и вторых производных. Любая такая функция может быть представлена сходящимся рядом

Третье свойство собственных функций дает нам принципиальную возможность представить любую функцию в виде ряда по собственным функциям нашей задачи, а при помощи второго свойства мы можем определить все коэффициенты этого ряда. Действительно, умножим

обе части равенства (20) на и проинтегрируем по всему объему Мы получим

В сумме, стоящей справа, все члены при к пропадут в силу свойства ортогональности, а коэффициент при будет равен единице. Следовательно, мы получим

Перечисленные свойства собственных колебаний позволяют теперь решить общую задачу о колебаниях при любых начальных условиях. Для этого рассмотрим предполагаемое решение задачи

и постараемся подобрать постоянные так, чтобы иметь

Подставляя в правую часть мы видим, что члены с синусами пропадут, обратится в единицу, и мы будем иметь

На основании третьего свойства собственных колебаний убеждаемся, что такое представление возможно, а по второму свойству имеем

Таким же образом, дифференцируя формулу (21) по t и полагая будем иметь

Отсюда, как и раньше, получаем значения

Зная мы фактически знаем и амплитуду и фазу каждого собственного колебания.

Мы доказали таким образом, что, складывая собственные колебания, можно получить самое общее решение задачи с однородными граничными условиями.

Всякое решение состоит, таким образом, из собственных колебаний; зная начальные условия, можно найти амплитуду и фазу каждого из них.

Совершенно так же изучаются и колебания в тех случаях, когда независимых переменных меньше. Рассмотрим в качестве примера колебания струны, закрепленной с обоих концов. Уравнение колебаний струны имеет вид

Пусть мы ищем решение задачи для струны длины закрепленной на концах

Будем искать опять набор частных решений

Мы получим, очевидно, рассуждая как и прежде,

или

Отсюда

Воспользуемся краевыми условиями для того, чтобы найти значения Обоим условиям на краях можно удовлетворить не при всяком

Из условия получаем и, значит, Подставляя получим Это возможно лишь в том случае, если где k — целое число. Значит

Условие дает

Окончательно

Таким образом, собственные колебания струны, как мы видим, имеют форму синусоид с целым числом полуволн на всей струне. Каждое колебание имеет свою частоту, причем частоты эти можно расположить в возрастающем порядке

Хорошо известно, что именно такие частоты мы слышим при колебании звучащей струны. Частота называется частотой основного тона, а все остальные суть частоты так называемых обертонов. Собственные функции на промежутке меняют знак раз.

Действительно, при этом пробегает значения от 0 по и, значит, синус успевает раз переменить знак. Точки, где собственная функция обращается в нуль, называются узлами колебаний.

Если мы каким-нибудь приемом заставим струну быть неподвижной в точке, соответствующей узлу, например первого обертона, то основной тон будет погашен, и мы услышим только звук первого обертона, который звучит октавой выше. Этот прием называется флажолетом и используется при игре на смычковых музыкальных инструментах: скрипке, альте и виолончели.

Мы разобрали метод разделения переменных на примере задачи о собственных колебаниях. Этот метод, однако, имеет значительно более широкую область применения: он применяется для решения задачи о передаче тепла и для решения целого ряда других задач. Для уравнения передачи тепла

с условиями

мы будем иметь, так же как и ранее,

При этом

Решение получится в виде

Этот же прием можно использовать с большим успехом и для решения некоторых других уравнений. Рассмотрим, например, уравнение Лапласа

в круге

и пусть нам нужно построить его решение, удовлетворяющее условиям

где через обозначены полярные координаты некоторой точки на плоскости.

Уравнение Лапласа можно без труда перевести в полярные координаты. Оно примет при этом вид

Будем опять искать решение этого уравнения в виде

Требуя, чтобы каждый член ряда порознь удовлетворял уравнению, мы получим

Разделив уравнение на получим

Положим опять

тогда

Нетрудно видеть, что функция должна быть периодической функцией от с периодом Интегрируя уравнение получим

Эта функция будет периодической с нужным периодом только в случае, если целое число. Полагая будем иметь

Уравнение для имеет общее решение в виде

Сохраняя лишь тот член, который является ограниченным при получим общее решение уравнения Лапласа в виде

Часто тот же прием можно применить и для отыскания нетривиальных решений уравнения удовлетворяющих однородным граничным условиям. В случае, когда таким путем удается свести задачу к задачам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, говорят, что задача допускает полное разделение переменных. Полное разделение переменных по методу Фурье, как доказал советский математик В. В. Степанов, может получиться только в некоторых специальных случаях. Метод разделения переменных известен математикам очень давно. Его по существу применяли еще Эйлер, Бернулли и Даламбер. Фурье систематически использовал его для решения задач математической физики, в частности в задачах распространения тепла. Однако во многих случаях этот метод, как мы указали, неприменим; приходится пользоваться другими путями, о которых сейчас и пойдет речь.