Интеграл Коши.

Сказанное выше позволяет вывести следующую фундаментальную формулу Коши, дающую выражение для дифференцируемой функции во внутренних точках замкнутого контура через значения функции на самом контуре

Дадим доказательство этой формулы. Пусть z фиксировано, независимое переменное. Функция

будет непрерывна и дифференцируема в каждой точке С, внутри области за исключением точки где знаменатель обращается в нуль. Это обстоятельство не позволяет применить теорему Коши к функции и контуру С.

Рассмотрим окружность с центром в точке z и радиусом и покажем, что

Для этого построим вспомогательный замкнутый контур состоящий из контура С, дуги соединяющий С и окружность, и окружности проходимой в обратном направлении (рис. 20). Контур показан стрелками. Так как из точка выключена, внутри функция уже всюду дифференцируема, и поэтому

Рис. 20

Но контур Г разбивается на четыре части: поэтому на основании свойства 3° интеграла будем иметь

Заменяя интегралы по интегралами по и у, и пользуясь свойством 4°, получим

что доказывает формулу (40).

Чтобы вычислить правую часть (40), положим

Вычислим прежде всего второе слагаемое. На окружности К

Имея в виду, что постоянны, получим

и, кроме того,

поэтому

так как при обходе окружности полное изменение 0 равно На основании (40) и (42)

В полученном равенстве мы перейдем к пределу при Левая часть и первое слагаемое правой части при этом будут оставаться неизменными. Мы докажем, что предел второго слагаемого равен нулю. Тогда при наше равенство приведет нас к формуле Коши. Чтобы доказать, что второе слагаемое стремится к нулю, когда заметим, что

т. е. подинтегральное выражение имеет конечный предел и, следовательно, ограничено

Применение свойства 5° интеграла дает

Это завершает доказательство формулы Коши. Формула Коши является одним из основных средств исследования в теории функций комплексного переменного.