§ 2. КАК ИССЛЕДОВАЛИ ВОПРОСЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПРОСТЫМ ЧИСЛАМ

Бесконечность числа простых чисел.

При рассмотрении последовательности (3) простых чисел

естественно возникает вопрос: является ли эта последовательность бесконечной? Тот факт, что любое целое число представимо в форме (4), еще не решает вопроса, так как показатели могут принимать бесчисленное множество значений. Положительный ответ на поставленный вопрос был дан еще Эвклидом, причем доказательство того, что не может быть лишь какого-либо конечного числа к простых чисел, таково.

Пусть — простые, тогда число

как всякое целое, большее единицы, или будет простым, или будет иметь простой делитель. Но не может делиться ни на одно из простых чисел так как в противном случае разность тоже делилась бы на это число, чего не может быть, поскольку эта разность равна единице. Следовательно, само просто или делится на какое-то простое отличное от Таким образом, множество простых чисел не может быть конечным.