Глава VII. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. ПОНЯТИЕ О ПРЕДМЕТЕ И МЕТОДЕ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

В школьном курсе геометрии изучают только простейшие линии: прямую, ломаные, окружность и ее дуги, а из поверхностей рассматривают, кроме плоскости, поверхности многогранников, шара, конуса и цилиндра. В более обширных курсах изучают еще некоторые кривые; прежде всего конические сечения: эллипс, параболу, гиперболу. Но исследование любой кривой или поверхности совершенно чуждо элементарной геометрии. На первый взгляд кажется даже неясным, какие общие свойства могут быть выделены и изучены, когда речь идет о любых кривых и поверхностях. Однако такое исследование представляется совершенно естественным и необходимым.

Во всех видах практической деятельности и познания природы мы постоянно сталкиваемся с кривыми и поверхностями самой различной формы. Путь планеты в пространстве, корабля в море, снаряда в воздухе, след резца на металле, колес на шоссе, пера на ленте прибора, контуры кулачка, управляющего клапанами мотора, и контуры художественного узора, форма провисшего троса, форма специально намотанной спиральной пружины и т. д. — таким примерам различных кривых нет конца. Поверхности тел, тонкие оболочки, цистерны, обшивка самолетов, чехлы, тонкие листовые материалы и т. д. дают бесконечное разнообразие поверхностей. Приемы обработки изделий, оптические свойства, обтекаемость тел, жесткость, прочность и деформируемость тонких оболочек и многие другие свойства зависят в большой мере от геометрической формы поверхности предметов.

Конечно, канавка, оставленная резцом на металле, не есть математическая кривая. Цистерна, даже с тонкими стенками, не есть математическая поверхность. Но в первом приближении, достаточном для исследования многих вопросов, реальные объекты удается изображать математически кривыми и поверхностями.

Вводя понятие математической кривой путем отвлечения от всех причин, ограничивающих возможность уменьшения толщины реальной нити, мы мыслим себе кривую как абсолютно тонкую нить, нить без толщины. В этом абстрактном понятии нам удается отразить совершенно реальные

общие свойства предметов, сохраняющиеся при уменьшении их толщины и ширины по сравнению с их длиной.

Аналогично, отвлекаясь от ограниченности возможного уменьшения толщины оболочек и ограниченности возможного уточнения положения границы тел, мы приходим к понятию математической поверхности. Мы не будем давать строгих определений этих хорошо известных понятий. Заметим только, что их математически точное определение не просто и принадлежит топологии.

Наконец, к изучению разных кривых линий и поверхностей нас толкает развитие математического анализа. Достаточно вспомнить, например, что линия служит геометрическим образом функции — важнейшего понятия анализа. Впрочем, с различными графиками каждый встречался, наверно, и независимо от изучения анализа.

Если в элементарной геометрии, созданной еще древними греками, не возникало речи о любой кривой или поверхности, то в аналитической геометрии уже говорят, что «всякая кривая изображается уравнением» и «любое уравнение с двумя переменными изображает кривую на координатной плоскости». Аналогично поверхности задаются в координатах уравнениями или Координатный метод, установивший тесную связь геометрии и анализа, дал способы задания разнообразных кривых и поверхностей уравнениями.

Но все же аналитическая геометрия ограничивается алгебраическими и элементарно геометрическими средствами и не идет дальше исследования отдельных типов фигур. Изучение же любых кривых и поверхностей представляет собой новый раздел — теорию кривых и поверхностей, которую называют также дифференциальной геометрией.

Следует сразу оговорить, что дифференциальная геометрия подчиняет исследуемые кривые и поверхности некоторым общим условиям, связанным с возможностью применения при их исследовании методов анализа. Однако при этом класс допустимых кривых и поверхностей остается практически неограниченно разнообразным, так что ими в огромном числе задач удается с необходимой точностью изображать изучаемые реальные объекты. Самое название «дифференциальная геометрия» указывает на метод этой теории: она пользуется в основном дифференциальным исчисление! и исследует в первую очередь «дифференциальные» свойства кривых и поверхностей, т. е. свойства их «в точке». Так, направление линии в точк:

характеризуется касательной, искривление — кривизной (ее точное определение будет дано позже) и т. Дифференциальная геометрия исследует свойства малых кусков кривых и поверхностей только в более далеких своих разделах переходит к исследованию разнообразных кривых и поверхностей «в целом», т. е. на всем их протяжении.

Развитие дифференциальной геометрии неразрывно связано с развитием анализа. Основные операции анализа — дифференцирование и интегрирование — имеют прямой геометрический смысл. Как уже выяснено в главе II (том 1), дифференцированию функции соответ ствует проведение касательной к кривой

Рис. 1.

Угловой коэффициент касательной (т. е. тангенс угла ее наклона к оси и есть не что иное, как производная функции в соответствующей точке (рис. 1), а площадь «под кривой»

численно есть не что иное, как интеграл этой функции, взятый в соответствующих пределах. Поскольку в анализе исследуются произвольные функции, то тем самым речь идет и о любых кривых или поверхностях. В анализе рассматривались прежде всего общие приемы изучения хода кривой на плоскости: ее подъема и спуска, большего и меньшего искривления, направления ее выпуклости, мест перегибов и пр. На тесную связь с теорией кривых указывает само название первого курса анализа, изданного французским математиком Лопиталем в 1695 г.: «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий».

Когда дифференциальное и интегральное исчисления после Ньютона, Лейбница и их ближайших последователей достигли к середине XVIII в. достаточного развития, открылась возможность более глубокого их применения в геометрии. С этого момента и начинается уже собственно развитие теории кривых и поверхностей. Для кривых в пространстве и для поверхностей вставали задачи, аналогичные, но несравненно более сложные и богатые содержанием, чем в случае плоских кривых. Эти задачи со временем выросли из рамок простого применения анализа к геометрии и привели к образованию самостоятельной теории кривых и поверхностей. В развитии начал этой теории во второй половине XVIII в. принимали участие многие математики: Клеро, Эйлер, Монж и др., дричем из них именно Эйлера нужно считать основателем общей теории поверхностей. Первым сводным сочинением по теории кривых и поверхностей явилась

книга Мошка «Приложение анализа к геометрии», вышедшая в 1795 г. В исследованиях этих математиков и, в частности, в названной книге Монжа явно видны причины, побуждавшие развитие дифференциальной геометрии. Это были растущие потребности механики, физики, астрономии, т. е. в конечном счете потребности техники и промышленности, для которых данных элементарной геометрии было уже совершенно недостаточно.

Связь с запросами практики характерна также для классических работ Гаусса (1777—1855) по теории поверхностей. Работа Гаусса, вышедшая в 1827 г. под названием «Общие исследования о кривых поверхностях», заложила основы дифференциальной геометрии поверхностей, как самостоятельной области математики. В ней были развиты те общие методы и задачи теории поверхностей, о которых будет идти речь в § 4. Гаусс исходил, в частности, из потребностей картографии. Задача картографии состоит в возможно более точном изображении частей земной поверхности на плоскости. Совершенно точное изображение здесь невозможно: отношения масштабов необходимо должны искажаться вследствие искривленности земной поверхности. Поэтому встает задача о нахождении возможно более точных способов изображения. Черчение карт имеет начало в глубокой древности, но создание общей теории представляет достижение нового времени, и оно не было бы возможно без развития общей теории поверхностей и общих методов математического анализа. Отметим, что один из трудных математических вопросов картографии служил предметом исследования П. Л. Чебышева (1821—1894). Ему же принадлежат важные результаты, касающиеся сетей кривых линий на поверхностях. К этим исследованиям его также привели чисто практические задачи.

Общие вопросы отображения одной поверхности на другую и вопросы деформации поверхностей составляют и сейчас один из центральных разделов геометрии. Относящиеся сюда важные результаты были получены еще в 1838 г. Ф. Миндингом (1806—1885), профессором Дерптского (ныне Тартуского) университета.

Ко второй половине прошлого столетия теория кривых и поверхностей уже сложилась в своих основах (если говорить о так называемой классической дифференциальной геометрии», в отличие от более новых направлений, о которых будет идти речь в § 5). Были получены основные уравнения теории кривых — так называемые формулы Френе. В 1853 г. ученик Миндинга по Тартускому университету К. М. Петерсон (1828—1881) нашел и использовал в своей диссертации основные уравнения теории поверхностей; 15 лет спустя они были получены и опубликованы итальянским

математиком Кодацци, с именем которого эти уравнения обычно связы вают. Петерсон, окончив университет в Тарту, жил и работал в Москве учителем гимназии. Не занимая никакого академического поста, соответствующего его выдающимся научным достижениям, он был тем не менее одним из основателей Московского математического общества и журнала «Математический сборник», выходящего в Москве с 1866 г. до настоящего времени. От Петерсона берет начало московская научная школа дифференциальной геометрии.

Известный итог развития «классической» дифференциальной геометрии был подведен в четырехтомных «Лекциях по общей теории поверхностей» французского геометра Дарбу, вышедших в 1887-1896 гг. В нашем столетии классическая дифференциальная геометрия продолжает разрабатываться, но центр исследований в теории кривых и поверхностей перешел в большой мере к новым направлениям, в которых круг изучаемых фигур и их свойств еще более расширился.