Дробные или мероморфные функции.

Класс целых функций может быть рассматриваем как расширение класса алгебраических многочленов. Исходя из многочленов, можно получить более широкий класс рациональных функций

являющихся отношением двух многочленов.

Подобным же образом естественно образуется новый класс функций из целых функций. Функция являющаяся отношением двух целых функций

называется дробной или мероморфной функцией. Получаемый таким образом класс функций играет большую роль в математическом анализе. Среди элементарных функций комплексного переменного в класс мероморфных функций входят, например:

Мероморфная функция уже не будет аналитической на всей плоскости комплексного переменного. В тех точках, где знаменатель обращается в нуль, функция обращается в бесконечность. Корни образуют на плоскости множество изолированных точек. В окрестности этих точек функция естественно, не может быть разложена в ряд Тейлора, однако в окрестности такой точки а мероморфная функция может быть представлена степенным рядом, содержащим также некоторое число отрицательных степеней

При приближении z к точке а значения стремятся к бесконечности. Изолированная особая точка, в которой аналитическая функция обращается в бесконечность, называется полюсом. Потеря аналитичности функции в точке а обусловлена членами с отрицательными степенями в разложении (46). Выражение

характеризует поведение мероморфной функции вблизи особой точки и называется главной частью разложения (46). Характер поведения мероморфной функции определяется ее главными частями в окрестности полюсов. Во многих случаях, зная главные части разложения мероморфной функции в окрестности всех ее полюсов, можно ее построить. Так, например, если функция рациональна и обращается в 0 на бесконечности, то она равна сумме главных частей ее разложения около всех ее полюсов, число которых для рациональной функции конечно:

В общем случае рациональная функция может быть представлена в виде суммы всех ее главных частей и некоторого многочлена

Формула (47) дает выражение рациональной функции, в котором ясно выступает роль особых точек функции в ее построении. Выражение (47) для рациональной функции представляет большие удобства при различных применениях рациональных функций и имеет также принципиальный интерес, выявляя, каким образом особые точки функции определяют всю ее структуру. Оказывается, что так же, как и рациональная функция, всякая мероморфная функция может быть сконструирована по главным частям ее полюсов. Приведем без доказательства подобное выражение, например для функции Полюсы функции получаются как корни уравнения

и расположены в точках: Можно доказать, что главная часть разложения функции в степенной ряд в полюсе будет

а функция равна сумме главных частей относительно всех ее полюсов

Разложение мероморфной функция в ряд по главным частям замечательно тем, что в нем явно выражены особые точки функции и что такое аналитическое представление позволяет вычислять функцию во всей области, где она определена.

Теория мероморфных функций явилась фундаментом при изучении многих важнейших для анализа классов функций. Особенно следует подчеркнуть ее значение в теории уравнений математической физики. Создание теории интегральных уравнений, позволивших дать ответ на ряд важных вопросов теории уравнений математической физики, широко опиралось на основные предложения теории мероморфных функций.

С тех пор развитие главы функционального анализа, наиболее тесно связанной с. математической физикой, — теории операторов — весьма часто опиралось на факты теории аналитических функций.