§ 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ

Интегралы от функций комплексного переменного.

Для изучения свойств аналитических функций важнейшую роль играет понятие интеграла функции комплексного переменного. Понятию определенного интеграла функции действительного переменного соответствует понятие интеграла вдоль кривой от функции комплексного переменного. Рассмотрим в плоскости дугу С с началом в точке и концом в точке

и функцию заданную в области, содержащей дугу С. Разобьем дугу С на малые части точками (рис. 18)

и рассмотрим сумму

Если функция непрерывна, а дуга С имеет конечную длину, то аналогично тому, как для действительных функций, устанавливается, что при увеличении числа точек деления так, чтобы максимальное расстояние между соседними точками деления стремилось к нулю, сумма имеет вполне определенный предел. Этот предел называется интегралом вдоль дуги С и обозначается через

Заметим, что при определении интеграла мы выбрали начало и конец линии С или, другими словами, выбрали определенное направление движения по линии С.

Рис. 18.

Легко доказать ряд простых свойств интеграла.

1° Интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов слагаемых функций:

2° Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

3° Если дуга С есть сумма дуг то

4° Если С — дуга С, проходимая в обратном направлении, то

Все эти свойства очевидны для суммы и получаются для интегралов предельным переходом.

5° Если длина дуги С равна и на дуге С выполняется неравенство

то

Докажем это свойство. Неравенство достаточно доказать для интегральных сумм так как тогда оно останется верным в пределе и для интегралов. Для интегральной суммы

Но стоящая вторым множителем сумма равна сумме длим звеньев ломаной линии, вписанной в дугу С, с вершинами в точках Длина ломаной, как известно, не больше длины кривой, поэтому

Рассмотрим интеграл от простейшей функции Очевидно в этом случае

Это доказывает, что

Полученный результат показывает, что для функции значение интеграла для всех дуг, соединяющих точки одно и то же. Другими словами, значение интеграла зависит только от начальной и конечной точки пути интегрирования. Однако легко убедиться, что это свойство не имеет места для произвольных функций комплексного переменного. Например, если то простые вычисления показывают, что

где — пути интегрирования, изображенные на рис. 19.

Предоставим читателю установить эти равенства.

Замечательным фактом теории аналитических функций является следующая теорема Коши.

Если дифференцируема в каждой точке односвязной области интегралы по всем дугам, соединяющим две произвольные точки области совпадают.

Мы не будем здесь приводить доказательства теоремы Коши, отсылая интересующихся к любому курсу теории функций комплексного переменного. Приведем здесь только важные следствия этой теоремы.

Прежде всего теорема Коши позволяет ввести неопределенный интеграл от аналитической функции. В самом деле, зафиксируем точку и рассмотрим интеграл по линии, соединяющей

При этом можно вести интегрирование по любой линии, соединяющей так как от изменения линии величина интеграла не меняется и, следовательно, зависит только от Функция называется неопределенным интегралом от

Рис. 19.

Неопределенный интеграл от имеет производную, равную

Во многих приложениях удобно иметь несколько иную эквивалентную формулировку теоремы Коши.

Если всюду дифференцируема в односвязной области, то интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, обращается в нуль:

Это очевидно, так как замкнутый контур имеет совпадающие начало и конец, и, следовательно, можно соединить нулевым путем.

В дальнейшем под замкнутым контуром будем понимать контур, проходимый в направлении против часовой стрелки. Если контур проходится по часовой стрелке, мы его будем обозначать Г.