Целые функции.

Степенной ряд дает аналитическое представление функции лишь в некотором круге. Этот круг имеет радиус, равный расстоянию до ближайшей точки, в которой функция теряет аналитичность, — особой точки функции.

Среди аналитических функций естественно выделяется класс функций, аналитических при всех конечных значениях аргумента. Такие функции представимы степенным рядом, сходящимся при всех значениях аргумента z, и называются целыми функциями Если мы рассмотрим разложение около начала координат, то целая функция будет выражаться рядом вида

Если в этом ряде все коэффициенты, начиная с некоторого, обращаются в нуль, то функция есть просто многочлен или целая рациональная функция

Если в разложении бесконечно много членов, отличных от нуля, то целая функция называется трансцендентной. Приведем примеры таких функций:

При изучении свойств многочленов важную роль играет вопрос о расположении корней уравнения

или, более обще, мы можем ставить вопрос о расположении точек, в которых многочлен принимает заданное значение А

Основная теорема высшей алгебры утверждает, что всякий многочлен принимает заданное значение А по крайней мере в одной точке. Это свойство уже не может быть перенесено на произвольную целую функцию. Например, функция ни в одной точке z плоскости не обращается в нуль. Однако имеет место следующая теорема Пикара: всякая целая функция принимает бесконечное число раз произвольное значение, кроме может быть одного.

Вопрос о расположении на плоскости точек, в которых целая функция принимает заданное значение А, является одним из центральных вопросов теории целых функций.

Число корней многочлена равно его степени. Степень многочлена тесно связана с быстротой возрастания при . В самом деле, мы можем написать

и так как при второй множитель стремится к многочлен степени при больших значениях z возрастает, как Таким образом, видно, что, чем больше тем быстрее растет при и тем больше корней имеет многочлен. Оказывается, что для целых функций эта закономерность продолжает иметь место. Однако для целой функции вообще говоря, число корней бесконечно, и поэтому вопрос о числе корней не имеет смысла. Все же мы можем смотреть число корней уравнения

в круге радиуса и изучить, как меняется это число при возрастании Скорость возрастания оказывается связанной со скоростью возрастания максимума модуля целой функции в круге радиуса Как уже говорилось, для целой функции может существовать одно исключительное значение а, для которого уравнение может не иметь даже ни одного корня. Для всех других значений а скорость возрастания числа сравнима со скоростью возрастания величины Мы здесь не имеем возможности дать более точные формулировки этих закономерностей.

Свойства распределения корней целых функций связаны с задачами теории чисел и позволили установить ряд важных свойств функции Римана на основе которых доказываются многие теоремы о простых числах.