Целые функции.
Степенной ряд дает аналитическое представление функции лишь в некотором круге. Этот круг имеет радиус, равный расстоянию до ближайшей точки, в которой функция теряет аналитичность, — особой точки функции.
Среди аналитических функций естественно выделяется класс функций, аналитических при всех конечных значениях аргумента. Такие функции представимы степенным рядом, сходящимся при всех значениях аргумента z, и называются целыми функциями
Если мы рассмотрим разложение около начала координат, то целая функция будет выражаться рядом вида
Если в этом ряде все коэффициенты, начиная с некоторого, обращаются в нуль, то функция есть просто многочлен или целая рациональная функция
Если в разложении бесконечно много членов, отличных от нуля, то целая функция называется трансцендентной. Приведем примеры таких функций:
При изучении свойств многочленов важную роль играет вопрос о расположении корней уравнения
или, более обще, мы можем ставить вопрос о расположении точек, в которых многочлен принимает заданное значение А
Основная теорема высшей алгебры утверждает, что всякий многочлен принимает заданное значение А по крайней мере в одной точке. Это свойство уже не может быть перенесено на произвольную целую функцию. Например, функция
ни в одной точке z плоскости не обращается в нуль. Однако имеет место следующая теорема Пикара: всякая целая функция принимает бесконечное число раз произвольное значение, кроме может быть одного.
Вопрос о расположении на плоскости точек, в которых целая функция принимает заданное значение А, является одним из центральных вопросов теории целых функций.
Число корней многочлена равно его степени. Степень многочлена тесно связана с быстротой возрастания
при
. В самом деле, мы можем написать
и так как при
второй множитель стремится к
многочлен степени
при больших значениях z возрастает, как
Таким образом, видно, что, чем больше
тем быстрее растет
при
и тем больше корней имеет многочлен. Оказывается, что для целых функций эта закономерность продолжает иметь место. Однако для целой функции
вообще говоря, число корней бесконечно, и поэтому вопрос о числе корней не имеет смысла. Все же мы можем
смотреть число
корней уравнения