Область сходимости степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда

на комплексной плоскости всегда есть круг с центром в точке а.

Докажем это предложение, носящее название теоремы Абеля. Прежде всего заметим, что ряд, члены которого — комплексные числа

можно рассматривать как два ряда, составленные из действительных частей и коэффициентов при мнимых частях чисел

Частичная сумма ряда (8) выражается через частичные суммы рядов (9) и (10)

поэтому сходимость ряда (8) равносильна сходимости обоих рядов (9) и (10), а сумма ряда (8) выражается через суммы с и рядов (9) и (10)

Рис. 2.

После этих замечаний становится очевидной следующая лемма.

Если члены ряда (8) по абсолютной величине меньше членов сходящейся геометрической прогрессии

с положительными где то ряд (8) сходится.

В самом деле, если то

поэтому [см. главу II (том 1), § 14] сходятся ряды (9) и (10), а следовательно, и ряд (8).

Докажем теперь, что если степенной ряд (7) сходится в некоторой точке 20, то он сходится во всех точках, лежащих внутри круга с центром в точке а, на границе которого лежит (рис. 2). Из этога утверждения легко следует, что область сходимости ряда (7)

есть или вся плоскость, или единственная точка или некоторый круг конечного радиуса.

Итак, пусть ряд (7) сходится в точке тогда общий член ряда (7) для стремится к нулю при и, значит, все члены ряда (7) лежат внутри некоторого круга; пусть А — радиус такого круга, тогда при любом

Возьмем теперь любую точку z, отстоящую от а на расстоянии меньшем, чем точка и покажем, что в точке z ряд сходится.

Очевидно

поэтому

Оценим общий член ряда (7) в точке z

в силу неравенств (11) и (12) отсюда вытекает

т. е. общий член ряда (7) в точке z меньше общего члена сходящейся геометрической прогрессии. На основании доказанной выше леммы ряд (7) сходится в точке

Круг, в котором степенной ряд сходится, а вне которого расходится, носит название круга сходимости; радиус этого круга называется радиусом сходимости степенного ряда. Граница круга сходимости, оказывается, всегда проходит через ближайшие к а точки комплексной плоскости, в которых происходит нарушение правильного поведения функции.

Степенной ряд (4) сходится во всей плоскости комплексного переменного; степенной ряд (5), как уже было сказано, имеет радиус сходимости, равный единице.