§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Элементарные связи и отношения между физическими величинами выражаются законами механики и физики. Эти связи весьма многообразны, и из них вытекает еще более многообразное число связей, более сложных, являющихся их математическими следствиями. Законы механики и физики на математическом языке могут быть записаны в виде уравнений в частных производных, а иногда интегральных уравнений, связывающих между собою неизвестные функции. Чтобы понять суть дела, разберем несколько примеров уравнений математической физики.

Запишем в математической форме основные физические законы, - управляющие движением точек среды.

Уравнения сохранения массы и тепловой энергии.

1. Выразим прежде всего закон сохранения вещества в каждом мысленно выделенном и жестко закрепленном объеме нашего пространства. Для этого нужно подсчитать массу вещества, находящуюся в этом объеме. Масса выразится интегралом

Эта масса не будет, разумеется, постоянной: в процессе колебаний плотность в каждой точке будет изменяться за счет того, что частицы вещества будут при своих колебаниях то входить в этот объем, то выходить

из него. Скорость изменения массы мы получим, дифференцируя по времени написанный интеграл

Эту же скорость изменения массы, заключенной в мысленно выделенном нами объеме , можно подсчитать и другим способом. Можно выразить то количество вещества, которое проходит в каждую секунду через поверхность ограничивающую наш объем , причем количество вещества, выходящего из нужно взять со знаком минус. Для этого рассмотрим небольшой участок поверхности столь малый, что его можно считать плоским и смещения точек на нем одинаковыми. Будем в течение промежутка времени от до следить за материальными точками, находящимися на этом участке.

Вычислим прежде всего вектор

представляющий собою скорость каждой частицы. За время частицы из переместятся на вектор и займут положение а на место станут частицы, находившиеся ранее в положении (рис. 1). Таким образом, за это время из объема выйдет целиком столбик вещества находившийся ранее внутри и к концу этого промежутка занявший положение Высота этого столбика равна где обозначает внешнюю нормаль к поверхности; объем столбика будет равен

а масса равна

Рис. 1.

Складывая все такие столбики, мы получим для количества вещества, вытекшего из объема за время выражение

При этом в тех местах, где скорость направлена внутрь , знак косинуса будет отрицательным, и, значит, втекающее вещество в этом интеграле учитывается со знаком минус. Произведение скорости движения среды на ее плотность называется потоком. Вектор потока массы

Для того чтобы получить скорость вытекания, достаточно разделить полученное выражение на и Мы будем иметь для скорости вытекания

где

Нормальную составляющую от вектора можно заменить выражением ее через составляющее векторов вдоль координатных осей. Из аналитической геометрии известно, что

откуда мы можем переписать выражение для скорости вытекания в виде

В силу закона сохранения вещества оба наши способа подсчета изменения количества вещества должны дать один и тот же результат, ибо всё изменение массы, заключенной в может произойти лишь за счет втекания или вытекания через поверхность

Отсюда, приравнивая скорость изменения количества вещества, заключенного в объеме, к скорости его втекания, получим

Это интегральное соотношение, как мы уже говорили, верно для любого объема . Оно носит название уравнения неразрывности.

Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, можно превратить в объемный с помощью формулы Остроградского. Эта формула, приводившаяся в главе 11 (том 1), дает

Отсюда следует

Мы получили следующий результат: интеграл от функции

по любому объему равен нулю. Последнее возможно лишь в том случае, если эта функция — тождественный нуль. Мы получаем таким путем другую, дифференциальную, форму уравнения неразрывности

Уравнение (1) представляет собою типичный пример формулировки физического закона на языке дифференциальных уравнений в частных производных.

2. Остановимся еще на одной такой задаче, а именно на задаче о передаче тепла.

Во всякой среде, частицы которой совершают тепловые движения, происходит передача тепла от одних точек к другим. Эта передача тепла происходит через каждый мысленно выделенный участок какой-либо поверхности лежащей внутри данной среды. Можно доказать, что рассматриваемое явление численно может быть описано при помощи особой векторной величины — «вектора потока тепла», который мы обозначим через . При этом количество тепла, протекающего за каждую секунду через некоторую элементарную площадку будет иметь выражение подобно тому, как при выводе уравнения неразрывности мы имели выражение для количества жидкости, протекающей через площадку каждую секунду, в виде Вместо потока жидкости мы будем иметь здесь вектор потока тепла .

Таким же способом, как мы получили уравнение неразрывности при движении жидкости, выражавшее закон сохранения вещества, мы дажем получить новое уравнение в частных производных, выражающее закон сохранения энергии.

Объемную плотность тепловой энергии в данной точке можно выразить формулой

где С — объемная теплоемкость, температура.

При этом легко получить уравнение

Вывод этого уравнения дословно совпадает с выводом уравнения неразрывности, если в нем «плотность» заменить на «плотность энергии», а поток массы заменить на поток тепла. При этом мы считаем, что в среде, где рассматривается явление распространения тепла, тепловая энергия нигде не возникает. Когда же в. среде имеется налицо тепловеделение,

выделение, уравнение (2) баланса тепловой энергии должно быть изменено. Если q — «плотность тепловыделения», т. е. количество тепловой энергии, выделяемое за единицу времени в единице объема среды, то уравнение сохранения тепловой энергии примет следующую, более сложную, форму:

3. Еще одно уравнение типа уравнения неразрывности можно получить, дифференцируя уравнение (1) по времени. Мы сделаем это для уравнения малых колебаний газа около положения равновесия. Будем считать, что при таких колебаниях плотность меняется мало и величины — малые величины, произведениями которых на можно пренебречь. Тогда

Дифференцируя это уравнение по времени и пренебрегая произведе ниями на , получим