Макеты страниц
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЭлементарные связи и отношения между физическими величинами выражаются законами механики и физики. Эти связи весьма многообразны, и из них вытекает еще более многообразное число связей, более сложных, являющихся их математическими следствиями. Законы механики и физики на математическом языке могут быть записаны в виде уравнений в частных производных, а иногда интегральных уравнений, связывающих между собою неизвестные функции. Чтобы понять суть дела, разберем несколько примеров уравнений математической физики. Запишем в математической форме основные физические законы, - управляющие движением точек среды. Уравнения сохранения массы и тепловой энергии.1. Выразим прежде всего закон сохранения вещества в каждом мысленно выделенном и жестко закрепленном объеме
Эта масса не будет, разумеется, постоянной: в процессе колебаний плотность в каждой точке будет изменяться за счет того, что частицы вещества будут при своих колебаниях то входить в этот объем, то выходить из него. Скорость изменения массы мы получим, дифференцируя по времени написанный интеграл
Эту же скорость изменения массы, заключенной в мысленно выделенном нами объеме Вычислим прежде всего вектор
представляющий собою скорость каждой частицы. За время
а масса равна
Рис. 1. Складывая все такие столбики, мы получим для количества вещества, вытекшего из объема
При этом в тех местах, где скорость направлена внутрь Для того чтобы получить скорость вытекания, достаточно разделить полученное выражение на
где
Нормальную составляющую от вектора
откуда мы можем переписать выражение для скорости вытекания в виде
В силу закона сохранения вещества оба наши способа подсчета изменения количества вещества должны дать один и тот же результат, ибо всё изменение массы, заключенной в Отсюда, приравнивая скорость изменения количества вещества, заключенного в объеме, к скорости его втекания, получим
Это интегральное соотношение, как мы уже говорили, верно для любого объема Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, можно превратить в объемный с помощью формулы Остроградского. Эта формула, приводившаяся в главе 11 (том 1), дает
Отсюда следует
Мы получили следующий результат: интеграл от функции
по любому объему
Уравнение (1) представляет собою типичный пример формулировки физического закона на языке дифференциальных уравнений в частных производных. 2. Остановимся еще на одной такой задаче, а именно на задаче о передаче тепла. Во всякой среде, частицы которой совершают тепловые движения, происходит передача тепла от одних точек к другим. Эта передача тепла происходит через каждый мысленно выделенный участок какой-либо поверхности Таким же способом, как мы получили уравнение неразрывности при движении жидкости, выражавшее закон сохранения вещества, мы дажем получить новое уравнение в частных производных, выражающее закон сохранения энергии. Объемную плотность
где С — объемная теплоемкость, При этом легко получить уравнение
Вывод этого уравнения дословно совпадает с выводом уравнения неразрывности, если в нем «плотность» заменить на «плотность энергии», а поток массы заменить на поток тепла. При этом мы считаем, что в среде, где рассматривается явление распространения тепла, тепловая энергия нигде не возникает. Когда же в. среде имеется налицо тепловеделение, выделение, уравнение (2) баланса тепловой энергии должно быть изменено. Если q — «плотность тепловыделения», т. е. количество тепловой энергии, выделяемое за единицу времени в единице объема среды, то уравнение сохранения тепловой энергии примет следующую, более сложную, форму:
3. Еще одно уравнение типа уравнения неразрывности можно получить, дифференцируя уравнение (1) по времени. Мы сделаем это для уравнения малых колебаний газа около положения равновесия. Будем считать, что при таких колебаниях плотность меняется мало и величины
Дифференцируя это уравнение по времени и пренебрегая произведе ниями
|
1 |
Оглавление
|