Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИЭлементарные связи и отношения между физическими величинами выражаются законами механики и физики. Эти связи весьма многообразны, и из них вытекает еще более многообразное число связей, более сложных, являющихся их математическими следствиями. Законы механики и физики на математическом языке могут быть записаны в виде уравнений в частных производных, а иногда интегральных уравнений, связывающих между собою неизвестные функции. Чтобы понять суть дела, разберем несколько примеров уравнений математической физики. Запишем в математической форме основные физические законы, - управляющие движением точек среды. Уравнения сохранения массы и тепловой энергии.1. Выразим прежде всего закон сохранения вещества в каждом мысленно выделенном и жестко закрепленном объеме
Эта масса не будет, разумеется, постоянной: в процессе колебаний плотность в каждой точке будет изменяться за счет того, что частицы вещества будут при своих колебаниях то входить в этот объем, то выходить из него. Скорость изменения массы мы получим, дифференцируя по времени написанный интеграл
Эту же скорость изменения массы, заключенной в мысленно выделенном нами объеме Вычислим прежде всего вектор
представляющий собою скорость каждой частицы. За время
а масса равна
Рис. 1. Складывая все такие столбики, мы получим для количества вещества, вытекшего из объема
При этом в тех местах, где скорость направлена внутрь Для того чтобы получить скорость вытекания, достаточно разделить полученное выражение на
где
Нормальную составляющую от вектора
откуда мы можем переписать выражение для скорости вытекания в виде
В силу закона сохранения вещества оба наши способа подсчета изменения количества вещества должны дать один и тот же результат, ибо всё изменение массы, заключенной в Отсюда, приравнивая скорость изменения количества вещества, заключенного в объеме, к скорости его втекания, получим
Это интегральное соотношение, как мы уже говорили, верно для любого объема Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, можно превратить в объемный с помощью формулы Остроградского. Эта формула, приводившаяся в главе 11 (том 1), дает
Отсюда следует
Мы получили следующий результат: интеграл от функции
по любому объему
Уравнение (1) представляет собою типичный пример формулировки физического закона на языке дифференциальных уравнений в частных производных. 2. Остановимся еще на одной такой задаче, а именно на задаче о передаче тепла. Во всякой среде, частицы которой совершают тепловые движения, происходит передача тепла от одних точек к другим. Эта передача тепла происходит через каждый мысленно выделенный участок какой-либо поверхности Таким же способом, как мы получили уравнение неразрывности при движении жидкости, выражавшее закон сохранения вещества, мы дажем получить новое уравнение в частных производных, выражающее закон сохранения энергии. Объемную плотность
где С — объемная теплоемкость, При этом легко получить уравнение
Вывод этого уравнения дословно совпадает с выводом уравнения неразрывности, если в нем «плотность» заменить на «плотность энергии», а поток массы заменить на поток тепла. При этом мы считаем, что в среде, где рассматривается явление распространения тепла, тепловая энергия нигде не возникает. Когда же в. среде имеется налицо тепловеделение, выделение, уравнение (2) баланса тепловой энергии должно быть изменено. Если q — «плотность тепловыделения», т. е. количество тепловой энергии, выделяемое за единицу времени в единице объема среды, то уравнение сохранения тепловой энергии примет следующую, более сложную, форму:
3. Еще одно уравнение типа уравнения неразрывности можно получить, дифференцируя уравнение (1) по времени. Мы сделаем это для уравнения малых колебаний газа около положения равновесия. Будем считать, что при таких колебаниях плотность меняется мало и величины
Дифференцируя это уравнение по времени и пренебрегая произведе ниями
|
1 |
Оглавление
|