§ 3. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Мы закончим настоящую главу указанием на идеи некоторых приближенных методов вариационного исчисления.

Для определенности будем говорить о простейшем функционале

при закрепленных граничных значениях допустимых функций.

Пусть есть точное решение задачи о минимуме I, а — соответствующее минимальное значение интеграла. Ясно, что если мы

укажем допустимую функцию у, для которой значение интеграла весьма близко к то можно рассчитывать, что и у будет мало отличаться от точного решения у. Кроме того, если нам удастся построить последовательность допустимых функций для которых то можно ожидать, что такая последовательность будет сходиться к решению у в том или ином смысле, и, стало быть, вычисляя достаточно большого индекса, мы сможем найти решение со сколь угодно высокой степенью точности.

В зависимости от того, какое правило мы избираем для построения «минимизирующей последовательности» мы будем получать тот или иной приближенный метод вариационного исчисления.

Первым по времени приближенным методом является метод ломаных линий, или метод Эйлера. Разделим отрезок на некоторое число частей. Например, выберем эти части одинаковыми, так что точки деления будут

Построим теперь ломаную линию с вершинами, лежащими над точками деления. Ординаты вершин ее обозначим

и при этом потребуем, чтобы она имела те же конец и начало, что и все допустимые линии, так что Тогда ломаная линия будет определяться ординатами

Вопрос теперь заключается в том, как следует подобрать ломаную (т. е. ординаты ее вершин), чтобы по возможности хорошо приблизиться к точному решению задачи.

Для достижения этой цели естественно поступить так. Вычислим интеграл I для ломаной линии. Значение его будет зависеть от

и будет функцией этих ординат. Выберем теперь так, чтобы придать минимальное значение. Для определения всех мы будем иметь систему уравнений

Так как к любой допустимой линии, в частности, к точному решению задачи, можно приблизиться при помощи ломаных линий сколь угодно близко не только по положению на плоскости, но и по направлениям касательных, то совершенно ясно, что полученная в результате вычислений последовательность ломаных линий будет, наверное,

минимизирующей. Взяв достаточно большим, мы можем надеяться приблизиться к решению сколь угодно точно на всем отрезке Разумеется, факт сходимости должен быть исследован в каждом случае.

Весьма широкое распространение в физике и технике получил также следующий, очень удобный по вычислениям, метод.

Возьмем любую функцию удовлетворяющую граничным условиям и последовательность функций , обращающихся в нуль на концах отрезка

Образуем затем линейную комбинацию

При любых значениях численных коэффициентов функция будет допустимой.

Подставив вместо у в интеграл 1 и выполнив все необходимые вычисления, мы получим некоторую функцию коэффициентов

Выберем теперь так, чтобы эта функция имела наименьшее значение. Коэффициенты должны быть найдены из системы

Решив эту систему, мы получим, вообще говоря, определенные значения коэффициентов дающие минимум, и по ним построим приближение к решению

Построенная так последовательность приближений не при всяком выборе функций будет минимизирующей. Чтобы это было так, нужно, чтобы последовательность функций удовлетворяла некоторым условиям «полноты», на выяснении которых мы останавливаться не будем.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)