Приближенное построение решений. Метод Галеркина и метод сеток.

1. Мы указали выше два способа решения уравнений математической физики: метод полного разделения переменных и метод теории потенциалов. Эти методы разработаны еще в трудах ученых XVIII и XIX вв. (Фурье, Пуассона, Остроградского, Ляпунова и других). В XX в. эти методы были дополнены рядом других методов. Мы остановимся на двух из них — методе Галеркина и методе конечных разностей, или методе сеток.

Первый метод был предложен академиком Б. Г. Галеркиным для решения уравнений вида

содержащих неизвестный параметр 1. (Здесь независимо друг от друга пробегают значения 1, 2, 3). Эти уравнения получаются из уравнений, содержащих независимое переменное при помощи приема разделения переменных таким же образом, как из волнового уравнения

получается уравнение Вопрос состоит в том, чтобы найти, при каких значениях X однородная краевая задача будет иметь ненулевое решение, и найти эти решения.

Сущность метода Голеркина состоит в следующем. Неизвестную функцию ищут приближенно в виде

где — какие угодно функции, удовлетворяющие граничным условиям.

Предполагаемое решение подставляют в левую часть уравнения для получения приближенного равенства

Обозначая для краткости выражение в фигурной скобке через запишем это уравнение в виде

Умножим теперь обе части нашего приближенного равенства на и проинтегрируем по области , в которой ищется решение. Мы получим:

это равенство можно переписать также в виде

Если мы поставим себе целью в точности удовлетворить этим равенствам, то будем иметь систему алгебраических уравнений 1-й степени для неизвестных коэффициентов ат. Число уравнений в ней равно числу неизвестных. Для того чтобы эта система имела решение, не равное нулю, должен равняться нулю ее определитель. Если развернуть этот определитель, то мы получим уравнение N-й степени для нахождения неизвестного числа 1.

Найдя значения А и подставив их в систему, мы решим эту систему и получим приближенные значения для функций

Метод Галеркина пригоден не только для уравнений 4-го порядка; он может быть применен к уравнениям различных порядков и различных типов.

2. Последний из методов, на котором мы остановимся, - это так называемый метод конечных разностей или метод сеток.

Производная от функции и по переменной х представляет собою предел отношения

Это отношение в свою очередь может быть представлено в виде

и на основании известной теоремы о среднем значении (см. главу II, § 8):

где — точка из промежутка

Все вторые производные от и, как производные смешанные, так и производные, взятые по одному переменному, могут быть также приближенно представлены в виде разностных отношений. Действительно, разностное отношение

представляется в виде

На основании теоремы о среднем разностное отношение функции

можно заменить значением производной. Следовательно,

где — некоторое среднее значение в промежутке

Таким образом,

С другой стороны,

и значит

Пользуясь еще раз формулой конечных приращений, видим, что

где

Таким образом,

где

Если производная непрерывна и величина достаточно мала, то будет сколь угодно мало отличаться от Таким образом, наша вторая производная сколь угодно близка к рассматриваемому разностному отношению. Так же точно можно показать, что, например, вторая смешанная производная

приближенно представляется формулой

Рис. 4.

Вернемся теперь к нашему уравнению в частных производных. Для того чтобы остановиться на чем-либо определенном, допустим, что это уравнение представляет собой уравнение Лапласа с двумя независимыми переменными

Пусть, кроме того, неизвестная функция и задана на границе области Q.

Приближенно принимаем, что

Положим тогда

Покроем область квадратной сеткой с вершинами в точках Заменим нашу область многоугольником, состоящим из попавших в квадратов нашей сетки, причем границу области заменим на ломаную линию. Перенесем на эту ломаную линию значения неизвестной функции, заданные на границе Уравнение Лапласа мы приближенно заменим уравнением

для всех внутренних точек области. Это уравнение можно переписать в виде

Таким образом, значение и в какой-либо точке сетки, например в точке 1 на рис. 4, равно среднему арифметическому ее значений в четырех соседних точках.

Допустим, что внутри многоугольника оказалось точек нашей сетки. В каждой такой точке мы получим свое уравнение. Таким образом, получится система алгебраических уравнений с неизвестными, решив которую мы получим приближенное значение функции и в области

Можно показать, что для уравнения Лапласа решение может быть найдено со сколь угодно большой точностью.

Метод конечных разностей сводит решение задачи к решению системы уравнений с неизвестными, причем за неизвестные берутся значения разыскиваемой функции в узлах некоторой сетки.

Тот же метод конечных разностей оказывается применимым и для других задач математической физики: для решения дифференциальных уравнений и для решения интегральных уравнений. Однако его применение во многих случаях наталкивается на ряд трудностей.

Может оказаться, что решение системы алгебраических уравнений с неизвестными, полученное по методу сеток, либо вообще не существует, либо дает ответ, весьма далекий от истинного. Это происходит тогда, когда решение системы уравнений приводит к накоплению ошибки, и чем меньше мы возьмем длину стороны квадратика сетки, тем больше мы получим уравнений и тем большую накопим ошибку при их решении.

В приведенном выше примере уравнения Лапласа это не так. Ошибка при решении этой системы не накапливается, а, наоборот, постепенно уменьшается, если решать эту систему, например, по методу последовательных приближений. Для уравнения передачи тепла и для волнового уравйения весьма существенным является выбор основной сетки. Можно получить для этих уравнений как хорошие, так и плохие результаты.

Если мы будем решать методом сеток какое-либо из этих уравнений, то, после того как сетка значений t выбрана, нужно выбирать для пространственных переменных не слишком мелкую сетку. Иначе мы получим очень плохую систему уравнений для значений неизвестной функции; решение ее даст результат, быстро колеблющийся и притом с большими амплитудами. Этот результат будет весьма далек от истинного.

Разнообразие получающихся возможностей лучше всего можно видеть на простом численном примере. Рассмотрим уравнение

в которое переходит уравнение передачи тепла в случае, когда температура не зависит от у и Положим шаг сетки вдоль значений t равным к, а вдоль значений х равным

После этого наше уравнение может быть приближенно записано в виде:

Зная значения и в некоторый узловой момент t в точках нетрудно найти значения и в точке х в следующий узловой момент Пусть постоянная к, т. е. величина шага сетки по уже выбрана. Рассмотрим два случая выбора А. Положим в первом случае а во втором случае и будем решать методом сеток следующую задачу.

В начальный момент для всех отрицательных значений для всех неотрицательных значений х. Мы будем иметь, выписывая в одну строку значения неизвестной функции и для определенного момента времени, две таблицы.

Таблица 1

Таблица 2

В табл. 2 мы получаем плавно меняющиеся значения от точки к точке для любого момента времени. Эта таблица дает хорошее приближение к решению уравнения теплопроводности. Наоборот, в табл. 1, в которой, казалось бы, точность должна была быть выше из-за более мелкого деления промежутка изменения х, значения и весьма быстро колеблются от положительных значений к отрицательным и достигаю значительной величины, намного превышающей начальные данные. Ясно, что в этой таблице значения получаются чрезвычайно далекими от тех, которые соответствуют истинному решению.

Из примеров видно, что если мы хотим при помощи метода сето получить достаточно близкие к истинным и надежные по точности результаты, мы должны проявить большую осторожность в выбор шагов сетки и предварительными исследованиями оправдать применение данного метода.

Полученные при помощи уравнений математической физики решения тех или иных задач естествознания дают нам математическое описание ожидаемого хода или вида физических явлений, описываемы этими уравнениями.

Поскольку при построении модели явления помощью уравнение математической физики мы всегда вынуждены абстрагироваться от многих сторон этого явления, отбрасывать многое как несущественно выделять то, что кажется главным, — результаты, полученные при этом, не являются абсолюно истинными. Они абсолютно верны лишь для той схемы или модели, которую мы рассматривали, но их всегда нужно еще сравнить с опытом для того, чтобы удостовериться, что модель явления, рассмотренная нами, близка к самому явлении: и достаточно точно его воспроизводит.

Окончательным критерием истинности результатов будет, таким образом, лишь практический опыт. Являясь в конечном итоге единственным

критерием истинности полученных результатов, практический опыт, однако, сам может быть разумно поставлен и понят лишь в свете глубоко разработанной теории.

Наблюдая колеблющуюся струну музыкального инструмента, мы понимаем происхождение всех тонов, ею испускаемых, лишь осознав законы сложения собственных колебаний. Соотношения между частотами мы понимаем, исследуя, как эти частоты определяются материалом, натяжением струны и характером закрепления ее концов. Теория не только дает в этом случае способ подсчета каких-либо численных величин, но подсказывает и то. какие именно величины являются характерными, как происходит физический процесс и что в нем надо наблюдать.

Таким образом, выросшая из потребностей практики область науки — математическая физика — сама на эту практику влияет и подсказывает ей пути дальнейшего хода вперед.

Математическая физика самым тесным образом связана с другими областями математического анализа, но мы не можем здесь касаться этих связей потому, что это завело бы нас слишком далеко.