Разложимость дифференцируемых функций в степенной ряд.

Применим теорему Коши для установления двух основных свойств дифференцируемых функций комплексного переменного.

Всякая функция комплексного переменного, имеющая первую производную в области имеет производные всех порядков.

В самом деле, внутри замкнутого контура наша функция выражается интегралом Коши

Под знаком интеграла дифференцируемая функция поэтому, производя дифференцирование под знаком интеграла, получим

Под знаком интеграла снова стоит дифференцируемая функция, поэтому мы можем снова дифференцировать, тогда

Продолжая дифференцировать, мы получим общую формулу

Таким образом мы можем вычислить производную любого порядка. Чтобы сделать это доказательство вполне строгим, надо было бы еще доказать, что дифференцировапие под знаком интеграла законно. Мы не будем останавливаться на этой части доказательства.

Второе основное свойство следующее:

Если везде дифференцируема в круге К с центром в точке а, то разлагается в степенной ряд Тейлора

сходящийся внутри К.

Мы определили в § 1 аналитические функции комплексного переменного как функции, разлагающиеся в степенной ряд. Последняя теорема говорит о том, что всякая дифференцируемая функция комплексного переменного есть аналитическая функция. Это есть специфическое свойство функций комплексного переменного, не имеющее себе аналога в действительной области. Функция действительного переменного, имеющая первую производную, может уже не иметь ни в одной точке производной порядка.

Докажем сформулированную выше теорему.

Пусть имеет производную внутри и на границе круга К с центром в точке а. Тогда внутри К функция выражается интегралом Коши

Напишем

тогда

Имея в виду, что точка z лежит внутри круга, на окружности, получим

поэтому на основании формулы для геометрической прогрессии

причем стоящий справа ряд сходится. Используя (44) и (45), мы можем формулу (43) представить в виде

Мы применим теперь к ряду, стоящему в скобках, почленное интегрирование. Законность этого можно строго обосновать. Тогда получим, вынося в каждом члене не зависящие от множители за знак интеграла

Используя теперь интегральные формулы для последовательных производных, можем написать

тогда получаем

Мы доказали, что дифференцируемые функции комплексного переменного разлагаются в степенной ряд. Обратно: функции, представляемые степенными рядами, дифференцируемы. Их производные могут быть получены почленным дифференцированием ряда (законность этой операции может быть строго обоснована).