Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Разложимость дифференцируемых функций в степенной ряд.

Применим теорему Коши для установления двух основных свойств дифференцируемых функций комплексного переменного.

Всякая функция комплексного переменного, имеющая первую производную в области имеет производные всех порядков.

В самом деле, внутри замкнутого контура наша функция выражается интегралом Коши

Под знаком интеграла дифференцируемая функция поэтому, производя дифференцирование под знаком интеграла, получим

Под знаком интеграла снова стоит дифференцируемая функция, поэтому мы можем снова дифференцировать, тогда

Продолжая дифференцировать, мы получим общую формулу

Таким образом мы можем вычислить производную любого порядка. Чтобы сделать это доказательство вполне строгим, надо было бы еще доказать, что дифференцировапие под знаком интеграла законно. Мы не будем останавливаться на этой части доказательства.

Второе основное свойство следующее:

Если везде дифференцируема в круге К с центром в точке а, то разлагается в степенной ряд Тейлора

сходящийся внутри К.

Мы определили в § 1 аналитические функции комплексного переменного как функции, разлагающиеся в степенной ряд. Последняя теорема говорит о том, что всякая дифференцируемая функция комплексного переменного есть аналитическая функция. Это есть специфическое свойство функций комплексного переменного, не имеющее себе аналога в действительной области. Функция действительного переменного, имеющая первую производную, может уже не иметь ни в одной точке производной порядка.

Докажем сформулированную выше теорему.

Пусть имеет производную внутри и на границе круга К с центром в точке а. Тогда внутри К функция выражается интегралом Коши

Напишем

тогда

Имея в виду, что точка z лежит внутри круга, на окружности, получим

поэтому на основании формулы для геометрической прогрессии

причем стоящий справа ряд сходится. Используя (44) и (45), мы можем формулу (43) представить в виде

Мы применим теперь к ряду, стоящему в скобках, почленное интегрирование. Законность этого можно строго обосновать. Тогда получим, вынося в каждом члене не зависящие от множители за знак интеграла

Используя теперь интегральные формулы для последовательных производных, можем написать

тогда получаем

Мы доказали, что дифференцируемые функции комплексного переменного разлагаются в степенной ряд. Обратно: функции, представляемые степенными рядами, дифференцируемы. Их производные могут быть получены почленным дифференцированием ряда (законность этой операции может быть строго обоснована).

1
Оглавление
email@scask.ru