§ 2. АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Поскольку большая роль статистических закономерностей несомненна, возникает вопрос о методах их изучения. Прежде всего возникает мысль о возможности чисто эмпирического, экспериментального их исследования. Так как вероятностная закономерность проявляется в массовых процессах, то представляется естественным, что для ее обнаружения необходимо произвести массовый эксперимент.

Такое представление, однако, истинно лишь отчасти. Установив некоторые вероятностные закономерности экспериментально, можно выводить из них новые вероятностные закономерности логическим или вычислительным путем при помощи некоторых общих допущений. Прежде чем показать, как это делается, мы должны перечислить некоторые основные определения и формулы теории вероятностей.

Из представления о вероятности как о нормальном значении частоты где и, следовательно, вытекает, что вероятность любого события А естественно считать лежащей между нулем и единицей

Два события называются несовместимыми, если они не могут (при осуществлении комплекса условий произойти оба. Например, при бросании игральной кости выпадение четного числа очков и выпадение тройки являются событиями несовместимыми. Событие А называется соединением событий если оно состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий или Например, при бросании игральной кости событие А, состоящее в выпадении 1, 2 или 3, является соединением событий где состоит в выпадении 1 или 2, а в выпадении 2 или 3. Легко видеть, что для чисел появлений двух несовместимых событий и их соединения имеет место равенство что дает для соответствующих частот

Это приводит к естественности следующей аксиомы сложения вероятностей:

если события несовместимы и обозначает их соединение.

Далее, для достоверного события естественно принять

Вся математическая теория вероятностей строится на простых аксиомах такого типа, как (1), (2) и (3). С точки зрения чистой математики вероятность является числовой функцией от «события», обладающей рядом аксиоматически фиксированных свойств. Свойства вероятностей, выражаемые формулами (1), (2) и (3), служат достаточной основой для построения так называемой элементарной теории вероятностей, если не настаивать на том, что в аксиоматизации нуждаются и сами понятия события, соединения событий и определяемого ниже совмещения событий. Начинающему полезнее держаться наглядного понимания терминов «событие» и «вероятность», но полезно знать, что не поддающийся полной формализации реальный смысл этих понятий не влияет на полную формальную отчетливость аксиоматизированного чисто математического изложения теории вероятностей.

Будем называть соединением событий данных в любом числе, событие А, заключающееся в том, что происходит хотя бы одно из этих событий. Тогда из аксиомы сложения легко получаем для любого числа попарно несовместимых событий и их соединения А

(так называемая теорема сложения вероятностей).

Если соединение этих событий есть достоверное событие (т. е. при каждом осуществлении комплекса условий происходит какое-либо из событий ), то

В этом случае систему событий называют полной системой. событий.

Рассмотрим теперь два, вообще говоря, совместимых события А и В. Событие С назовем совмещением событий А и если событие С состоит в том, что происходят оба события А и

Например, если событие А состоит в том, что число очков, выпадающее при бросании игральной кости, четно, а В — в том, что оно кратно трем, то событие С состоит в том, что число очков равно шести.

Пусть при большом числе повторных испытаний событие А появилось раз, а событие В появилось раз, причем к раз вместе с событием А. Отношение естественно назвать условной частотой события В при условии А. Связывающей частоты — формуле

естественно сопоставить следующее определение:

Условной вероятностью события В при условии А называется отношение

Здесь предполагается, конечно, что

Если события А и В по существу никак не связаны друг с другом, то естественно предполагать, что событие В не должно появляться при условии наступления события А ни существенно чаще, ни существенно реже, чем при рассмотрении всех вообще испытаний, т. е. что приближенно или

В последнем приближенном равенстве есть частота события - частота события В, наконец, — частота совмещения событий А и В.

Мы видим, что эти частоты связаны соотношением

Для вероятностей событий А, В и А В естественно поэтому принять соответствующее точное равенство

Равенство (4) служит определением независимости двух событий А и В.

Аналогично можно определить независимость любого числа событий. Кроме того, можно дать определение независимости любого числа испытаний (последнее, грубо говоря, сводится к тому, что тот или иной исход части этих испытаний никак не влияет на исход остальных.

Вычислим теперь вероятность ровно к появлений некоторого события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления этого события одна и та же. Обозначим через А событие, заключающееся в непоявлении события А. Очевидно, что

Из определения независимости испытаний нетрудно усмотреть, что вероятность какой-либо определенной последовательности, составленной из к появлений к непоявлений А, равна

Так, например, при вероятность получить последовательность исходов будет

По теореме сложения вероятность равна сумме вероятностей всех последовательностей с к появлениями и к непоявлениями события А, т. е. в силу (5) равна произведению числа таких последовательностей на Число таких последовательностей, очевидно, равно числу сочетаний из по к, поскольку к положительных исходов могут занимать в ряду из испытаний любые к мест.

Окончательно получаем

(так называемое биномиальное распределение).

Чтобы увидеть, как применяются приведенные выше определения и формулы, рассмотрим пример, относящийся к теории стрельбы.

Пусть для поражения цели достаточно пяти попаданий. Нас интересует вопрос, имеем ли мы право рассчитывать на то, что необходимые пять попаданий получатся в результате 40 выстрелов. Чисто эмпирический метод решения этой задачи заключался бы в следующем. При заданных размерах цели и заданной дистанции стрельбы производится много (скажем, 200) стрельб по 40 выстрелов в каждой и определяется, в каком числе стрельб получилось не менее пяти попаданий в цель.

Если этот результат был достигнут, например, в 195 стрельбах из 200, то вероятность Р равна приблизительно

По рассмотренному чисто эмпирическому рецепту исследования мы потратили бы 8000 снарядов для решения крайне специальной задачи. Так на практике, конечно, не поступают. Вместо этого начинают с следования рассеивания снарядов при данной дистанции стрельбы независимо от размеров цели. Оказывается, что отклонения по дальности и боковые отклонения от средней точки падения подчиняются в смысле частоты, с которой встречаются отклонения различных размеров, закону, изображенному на рис. 2. Буквой В здесь обозначено так называемое вероятное отклонение.

Рис. 2.

Вероятное отклонение, вообще говоря, различно для отклонений по дальности и боковых отклонений и, кроме того, увеличивается с увеличением дистанции стрельбы. Вероятные отклонения для различных дистанций для каждого типа орудия и снаряда находятся эмпирически при помощи опытных стрельб на артиллерийском полигоне. После же этого решение всевозможных специальных задач такого типа, как поставленная выше, производится расчетным путем.

Предположим для простоты, что интересующая нас цель имеет вид прямоугольника, одна сторона которого направлена вдоль линии стрельбы и имеет размеры в два вероятных отклонения по дальности, а другая сторона, перпендикулярная линии стрельбы, равна двум вероятным боковым отклонениям. Предположим, далее, что цель хорошо пристреляна и средняя траектория полета снарядов проходит через ее центр (рис. 3).

Предположим еще, что боковое отклонение и отклонение по дальности независимы. Тогда для попадания в цель данным снарядом необходимо и достаточно, чтобы его отклонения по дальности и боковое не превосходили соответствующих вероятпых отклонений. В соответствии с рис. 2 каждое из этих событий будет наблюдаться примерно для выпущенных снарядов, т. е. с вероятностью 1/2. Совмещепие обоих этих событий будет происходить примерно для выпущенных снарядов, т. е. вероятность попадания отдельного снаряда в цель будет равна

а вероятность промаха при отдельном выстреле будет равна

Предполагая, что попадания при отдельных выстрелах представляют собой независимые события и применяя биномиальную формулу (6), мы находим, что вероятность получить при 40 выстрелах ровно к попаданий будет равна

Интересующая нас вероятность получить не менее пяти попаданий выразится теперь формулой

Рис. 3.

Но ее проще вычислить по формуле исходя из вероятности получить аденее пяти

попаданий.

Можно подсчитать, что

откуда

Полученная вероятность Р даже несколько ближе к единице, чем это обычно признается достаточпым в теории стрельбы при назначении числа снарядов, способного обеспечить выполнение поставленной задачи. Чаще всего считают возможным указывать число снарядов, которое гарантирует выполнение поставленной задачи с вероятностью 0,95.

Рассмотренный пример несколько схематичен, но он достаточно убедительно показывает важность вероятностных расчетов. Установив из опыта зависимость вероятных отклонений от дистанции стрельбы, для чего достаточно совсем небольшого числа стрельб на полигоне, мы можем потом при помощи несложных расчетов получать ответы на самые разнообразные вопросы. Так же дело обстоит и во всех других областях, где совместное действие большого числа случайных факторов приводит к статистическим закономерностям. При непосредственной обработке массовых наблюдений выясняются лишь самые простые из этих статистических закономерностей, т. е. находятся лишь некоторые исходные вероятности. Затем, при помощи законов теории вероятностей, отправляясь от этих исходных вероятностей, вычисляют вероятности более сложных явлений и на основе этих вычислений делают выводы о статистических закономерностях, управляющих интересующими нас сложными явлениями.

Иногда удается и совсем обойтись без собирания массового статистического материала, так как исходные вероятности могут быть определены из достаточно убедительных соображений симметрии. Например, традиционный вывод о том, что игральная кость, т. е. куб, вырезанный из однородного материала, при бросании с достаточной высоты падает на каждую из своих граней с одинаковой вероятностью был сделан несомненно раньте, чем вполне систематически был собран достаточный для оправдания этого вывода наблюдательный материал. Систематические опыты такого рода производились в XVIII—XX вв. преимущественно составителями учебников по теории вероятностей, когда теория вероятностей уже была разработанной наукой. Результат этой проверки был удовлетворителен, но распространение подобной деятельности на новые аналогичные случаи вряд ли представляет интерес. Например, насколько нам известно, никто не производил достаточно обширных опытов с бросанием вырезанного из однородного материала правильного двенадцатигранника. Но нет никаких сомнений, что если бы было произведено, скажем, 12 000 таких бросаний, то двенадцатигранник упал бы на каждую из своих граней приблизительно в тысяче случаев.

Получение исходных вероятностей из соображений симметрии или однородности играет также большую роль во многих серьезных научных задачах, например во всех задачах на столкновения или сближения беспорядочно двигающихся молекул газа или - с таким же успехом — звезд галактики. Конечно, в таких более деликатных случаях предпочитают хотя бы косвенно проверять сделанные допущения путем «равнения вытекающих из них выводов с опытом.