Аналитический аппарат теории поверхностей.

Систематическое применение анализа в теории поверхностей привело к созданию аналитического аппарата, специально приспособленного для этой цели. Решающим шагом в этом направлении послужил введенный Гауссом способ аналитического задания поверхности посредством так называемых криволинейных координат. Этот способ представляет собой естественное обобщение идеи декартовых координат на плоскости и тесно связан с внутренней геометрией поверхности, в которой задание поверхности уравнением становится уже неудобным. Неудобство состоит в том, что координаты точки на поверхности при изгибании меняются. Чтобы устранить это неудобство, координаты вводят на самой поверхности, определяя каждую точку двумя числами и, которые связаны с данной точкой (и остаются связанными с ней и после изгибания). Пространственные же координаты каждой точки будут всякий раз теми или иными функциями от . Числа задающие точку на поверхности, называются ее криволинейными координатами. Название это понятно: если фиксировать значение одной из координат, скажем а другую менять, то мы получим координатную линию на поверхности. Координатные линии образуют на поверхности криволинейную сеть, аналогичную координатной сети на плоскости. Заметим, что известное определение положения точки на земной поверхности с помощью широты и долготы есть не что иное, как введение криволинейных координат на поверхности шара; координатная сеть в данном случае состоит из окружностей — меридианов и параллелей 1 (рис. 44). Чтобы задать пространственное положение поверхности с помощью криволинейных координат, нужно определить положение каждой ее точки в зависимости от и и например задавая вектор идущий из некоторого фиксированного начала в точку поверхности (так называемый радиус-вектор поверхности), как функцию

(это равносильно заданию составляющих вектора как функций от Для задания кривой, лежащей на данной поверхности, нужно задать координаты как функции одного параметра после чего радиус-вектор переменной точки на этой кривой выразится в виде сложной функции .

На векторные функции дословно обобщается понятие производной и дифференциала; при этом непосредственно из определения производной как предела при есть функция параметра следует, что производная радиуса-вектора кривой есть вектор, направленный по касательной к этой кривой (рис. 45).

Рис. 44.

Рис. 45.

На векторные функции переносятся основные свойства обычных производных, в частности правило дифференцирования сложных функций

где — частные производные векторной функции

Длина кривой, как можно доказать, выражается интегралом

Следовательно, дифференциал длины кривой равен

Но так как есть не что иное, как составляющие вектора то можно написать: где означает длину вектора . Для кривой, лежащей на поверхности, согласно (7) получаем

Вычисляя квадрат длины вектора, стоящего в правой части, по правилам векторной алгебры, получим

Переходя к дифференциалам и вводя обозначения

будем иметь

Мы видим, что квадрат дифференциала длины дуги на поверхности есть квадратичная форма от дифференциалов с коэффициентами, зависящими от точки поверхности. Эта квадратичная форма называется первой квадратичной формой поверхности. Задание в каждой точке поверхности коэффициентов первой квадратичной формы позволяет вычислять длины любых кривых на поверхности по формуле и, следовательно, полностью определяем ее внутреннюю геометрию.

Покажем для примера, как выражаются через угол и площадь. Пусть из точки исходят две кривые, одна из них задается уравнениями , а другая — уравнениями и Тогда касательными к эти», кривым служат векторы

Косинус угла между этими векторами равен их скалярному произведению деленному на произведение их длин

Вспоминая, что получаем

Чтобы получить формулу для площади, рассмотрим криволинейный четырехугольник, ограниченный координатными линиями и и заменим его приближенно параллелограмом, лежащим в касательной плоскости и построенным на векторах касательных к координатным пиниям (рис. 46). Площадь этого параллелограма где — угол между . Так как то Вспоминая, что получим: Суммируя площади параллелограмов и переходя к пределу при получаем для площади формулу где интегрирование производится по области изменения переменных и, соответствующей данному участку поверхности.

Криволинейные координаты, таким образом, весьма удобны при исследовании внутренней геометрии поверхности.

Рис.

Рис. 47.

Оказывается, что искривленность поверхности в пространстве также можно характеризовать посредством некоторой квадратичной формы от дифференциалов . В самом деле, если — единичный вектор нормали к поверхности в точке М, а — приращение радиуса-вектора поверхности при смещении из этой точки, то отклонение поверхности от касательной плоскости (рис. 47) равно Разлагая приращение по формуле Тейлора, получим

где при Так как вектор лежит в касательной плоскости, то последний член мал по сравнению с квадратами дифференциалов Остается основной член Удвоенная главная часть величина оказывается квадратичной формой относительно

Эта форма и описывает характер отклонения поверхности от касательной плоскости. Она называется второй квадратичной формой поверхности. Ее коэффициенты, зависящие от принято обозначать так:

Зная вторую квадратичную форму, мы можем вычислить кривизну любой линии

на поверхности. В самом деле, применяя формулу — получим, что кривизна нормального сечения, проведенного в направлении, которому соответствует отношение дифференциалов равна

Если рассматриваемая кривая не является нормальным сечением, то согласно теореме Менье достаточно разделить кривизну нормального сечения, идущего в том же направлении, на косинус угла между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности.

Введение второй квадратичной формы дает аналитический подход к изучению искривленности поверхности. В частности, можно чисто аналитически получить теоремы Эйлера и Менье, выражения для гауссовой и средней кривизны и т. п.

Теорема Петерсона, о которой говорилось выше, показывает, что две квадратичные формы, вместе взятые, определяют поверхность с точностью до ее положения в пространстве, и, следовательно, изучение любых свойств поверхности аналитически сводится к изучению этих форм. В заключение отметим, что коэффициенты двух квадратичных форм не являются независимыми; та связь между внутренней геометрией поверхности и ее пространственной формой, о которой упоминалось, аналитически выражается в виде трех соотношений (уравнений Гаусса—Кодацци) между коэффициентами первой и второй квадратичных форм.