Связь внутренней геометрии поверхности с ее пространственной формой.
Мы уже знаем, что некоторые свойства поверхности и фигур на ней, непосредственно связанные с их пространственной формой, как говорят, «внешне-геометрические» свойства, определяются внутренней геометрией поверхности. Например, произведение главных кривизн поверхности (гауссова кривизна) определяется ее внутренней геометрией. Другой пример: для того чтобы у кривой, лежащей на поверхности, главная нормаль всюду совпадала с нормалью к поверхности, необходимо и достаточно, чтобы эта кривая обладала определенным внутренне-геометрическим свойством, а именно была бы геодезической.
Наряду с этим внутренняя геометрия поверхности определяет ее пространственную форму лишь с известным произволом.
Зависимость пространственной формы поверхности от ее внутренней геометрии может быть выражена аналитически в виде уравнений, в которые входят величины, характеризующие внутреннюю геометрию, и величины, характеризующие внешнюю искривленность поверхности. Одно из этих уравнений представляет собой формулу, выражающую гауссову кривизну через величины, относящиеся к внутренней геометрии, и принадлежит Гауссу. Два других уравнения это — уравнения Петерсона — Кодацци, о которых упоминалось в § 1.
Уравнения Гаусса—Петерсона — Кодацци полностью исчерпывают связь между внутренней геометрией поверхности и ее искривленностью
в пространстве, так что все возможные зависимости между внутреннегеометрическими и внешне-геометрическими величинами произвольной поверхности, по крайней мере в скрытом виде, уже заключены в этих уравнениях.
Поскольку форма поверхности в пространстве не определяется только ее внутренней геометрией, естественно встает вопрос: какие внешнегеометрические величины нужно еще задать, чтобы полностью определить поверхность? Оказывается, что если две поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию и кривизны нормальных сечений этих поверхностей, взятые со знаком, в соответственных точках и направлениях равны, то и сами поверхности равны, т. е. могут быть совмещены движением. Отметим, что Петерсон открыл эту теорему за 15 лет до Боннэ, с именем которого ее часто связывают.
