§ 3. НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

В уравнениях с частными производными так же, как это было в обыкновенных уравнениях, каждое уравнение, за редким исключением, имеет бесчисленное множество частных решений. Поэтому каждый раз для того, чтобы решить конкретную физическую задачу, т. е. найти неизвестную функцию, удовлетворяющую какому-либо уравнению, необходимо уметь выбирать нужные решения среди бесконечного множества различных решений. Для этого обычно необходимо бывает знать, помимо уравнения, еще некоторое число дополнительных условий. Как мы видели выше, уравнения в частных производных представляют собою выражение элементарных законов механики или физики, относящихся к малым частицам, расположенным внутри среды. Мало, однако, знать только законы механики для того, чтобы суметь предсказать какое-либо явление. Чтобы, например, предсказать движение небесных тел, как это делается в астрономии, считая, разумеется, известными массы этих тел, нужно, помимо общих формулировок законов Ньютона, знать еще начальное состояние изучаемой системы, т. е. расположение тел и их скорости в. некоторый начальный момент времени. Подобного типа дополнительные условия возникают всегда и при решении задач математической физики.

Таким образом, задачи математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям.

В соответствии с различием между уравнениями, выписанными нами выше — уравнениями (7), (8) и (9) — различаются и те задачи, которые можно ставить и решать для этих уравнений.

Уравнения Лапласа и Пуассона. Гармонические функции и единственность решения для них краевой задачи.

Разберем указанные постановки задач несколько подробнее. Начнем с уравнений Лапласа и Пуассона. Уравнением Пуассона называется уравнение

где имеет обычно смысл плотности. В частном случае может обратиться в нуль. При мы получаем уравнение Лапласа

Нетрудно видеть, что два частных решения какого-либо уравнения Пуассона всегда отличаются друг от друга на функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа, или, как иначе говорят, на гармоническую функцию. Все многообразие решений уравнения Пуассона сводится таким образом к многообразию гармонических функций.

Если бы мы сумели каким-либо способом построить хотя бы одно частное решение уравнения Пуассона, то, заменив неизвестную функцию при помощи формулы

мы получили бы для новой неизвестной функции уравнение Лапласа. Так же точно мы могли бы, сделав соответствующую замену в дополнительных условиях, получить дополнительные условия для новой функции Поэтому особую важность представляет исследование задач для уравнения Лапласа.

Как это чаще всего и бывает в математических задачах, правильная постановка вопроса об отыскании решения уравнения математической физики подсказывается непосредственно практикой. Дополнительные условия, возникающие при решении уравнения Лапласа, вытекают из самой физической постановки задачи.

Пусть мы рассматриваем, например, установившееся тепловое состояние в некоторой среде, т. е. распространение тепла в некоторой среде, где источники тепла постоянны и находятся либо вне, либо внутри среды. По прошествии некоторого времени при этих условиях в любой точке среды устанавливается не зависящая от времени температура.

Для того чтобы узцать температуру Т в каждой точке, нам нужно найти то решение уравнения

где — плотность тепловыделения, которое не зависит от . Мы получим

Как видно, температура в нашей среде удовлетворяет уравнению Пуассона. Если плотность тепловыделения равна нулю, то уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа.

Чтобы найти температуру внутри среды, необходимо, как это следует из простых физических соображений, знать еще, что происходит на границе рассматриваемой среды.

Очевидно, все законы физики, рассмотренные нами ранее для внутренних точек тела, получат совсем другую формулировку в точках границы.

В задаче об установившемся тепловом состоянии мы можем задать на границе либо распределение температур, либо величину потока тепла, проходящего через единицу поверхности, либо, наконец, какой-либо закон, связывающий температуру с потоком тепла.

Рассматривая температуру в объеме ограниченном поверхностью мы можем эти условия записать так:

или

или, наконец, в более общем случае

где обозначает произвольную точку поверхности Условия типа (10) называются краевыми условиями. При отыскании нужного решения уравнения Лапласа или Пуассона краевые условия одного из рассмотренных типов определяют выбор именно того решения, которое нужно, причем определяют его, как правило, однозначно.

Таким образом, для отыскания решения уравнения Лапласа или Пуассона обычно бывает необходимо и достаточно задание одной произвольной функции на границе области. Остановимся несколько

подробнее на уравнении Лапласа. Докажем, что гармоническая функция и, т. е. функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, вполне определяется, если известно, какие значения она принимает на границе этой области.

Прежде всего установим, что гармоническая функция внутри области 12 не может нигде принимать значений больших, чем наибольшее ее значение на границе. Точнее говоря, докажем, что как абсолютный максимум, так и абсолютный минимум любой гармонической функции достигаются на границе области.

Отсюда сразу будет следовать, что если гармоническая функция на границе области принимает постоянное значение, то и внутри она будет равна той же постоянной. Действительно, если максимум и минимум функции — одна и та же постоянная, то функция везде будет равна этой постоянной.

Установим теперь, что абсолютные максимум и минимум гармонической функции не могут находиться внутри области. Прежде всего заметим, что если оператор Лапласа от функции и (х, у, z) во всей области положителен, то эта функция не может иметь максимума внутри области, а если он отрицателен, то она не может иметь минимума внутри области. Действительно, в точке, где функция и достигает максимума, она должна иметь максимум как функция каждого переменного по отдельности при фиксированных значениях остальных переменных. Но отсюда следует, что каждая частная производная 2-го порядка по любой переменной должна быть неположительной. Значит, и сумма их будет неположительной и оператор Лапласа положительным быть не может. Совершенно так же можно доказать, что если у функции есть минимум в некоторой внутренней точке, то ее оператор Лапласа не может быть отрицательным в этой точке. Это значит, что если оператор Лапласа отрицателен везде в области, то в этой области функция минимумов иметь не может.

Если функция гармоническая, то ее можно всегда изменить на сколь угодно малую величину так, чтобы она приобрела положительный или отрицательный оператор Лапласа; для этого достаточно прибавить к ней величину

где — сколь угодно малая постоянная.

Прибавление достаточно малой величины не может изменить свойства функции иметь абсолютный максимум или минимум внутри области. Если бы гармоническая функция имела максимум внутри области, то, прибавив к ней мы могли бы получить функцию с положительным оператором Лапласа, тоже имеющую максимум внутри, что по доказанному выше невозможно. Значит, гармоническая функция не может достигать абсолютного максимума внутри области.

Так же доказывается, что гармоническая функция не может иметь внутри области и абсолютного минимума.

Из доказанной теоремы вытекает важное следствие. Две гармонические функции, принимающие на границе области одинаковые значения совпадают всюду внутри области. В самом деле, разность этих функций (она снова будет функцией гармонической) обращается в нуль на границе области и, следовательно, везде равна нулю внутри области.

Как мы видим, значения гармонической функции на границе полностью определяют эту функцию. Можно доказать (но мы не имеем возможности останавливаться на этом подробнее), что эти значения могут быть заданы совершенно произвольными и что всегда найдется при этом гармоническая функция, принимающая эти значения.

Несколько более сложно выглядит доказательство того, что распределение установившихся температур в теле полностью определяется, если известен поток тепла через каждый элемент поверхности тела или закон, связывающий поток тепла с температурой. Мы вернемся несколько позднее к этому вопросу, когда будем разбирать методы решения задач математической физики.