Метод последовательных приближений.

Мы остановимся сейчас еще на методе последовательных приближений, имеющем столь же широкую область применения, как и метод ломаных линий Эйлера. Вновь будем считать, что нам нужно найти решение дифференциального уравнения (34), удовлетворяющее начальному условию

Примем за исходное приближение к решению произвольную функцию Для простоты будем считать, что она также удовлетворяет начальному условию, хотя это и не обязательно. Подставим ее в правую

часть уравнения f(x, у) вместо неизвестной функции у и построим первое приближение к решению у по следующим требованиям:

Так как в правой части первого из равенств стоит известная функция можно найти при помощи интегрирования

Можно ожидать, что будет меньше отличаться от решения чем так как при построении мы воспользовались дифференциальным уравнением и оно, вероятно, должно исправить погрешности исходного приближения. Можно думать также, что если мы тем же способом улучшим первое приближение то второе приближение

будет еще ближе к разыскиваемому решению.

Допустим, что такой процесс улучшения мы будем продолжать неограниченно далеко, и построим последовательность приближений

Будет ли она сходиться к решению

Более подробные исследования показывают, что в том случае, когда функция f(x, у) непрерывна и ограничена в области функции действительно будут стремиться к точному решению по крайней мере для х, мало отклоняющихся от Если же мы прекратим вычисления на некотором достаточно далеком шаге, то сможем найти решение со сколь угодно высокой степенью точности.

Совершенно так же, как мы находили приближение интегральных линий уравнения (34), можно приближенно находить интегральные линии системы двух и большего числа дифференциальных уравнений порядка. Существенно необходимым условием для этого является условие возможности разрешения этих уравнений относительно производных от всех неизвестных функций. Пусть, например, дана система

Предполагается, что правые части этих уравнений непрерывны и имеют ограниченные производные по у и по z в некоторой пространственной области Можно доказать при этих условиях, что через

каждую точку области где заданы правые части уравнений (37), проходит одна и только одна интегральная линия

системы (37). Функции суть угловые коэффициенты в точке касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Для приближенного нахождения функций можно применять метод ломаных Эйлера и другие методы, аналогичные тем, какие применимы, к уравнению (34).

Процесс приближенного вычисления решений обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным условиям может проводиться на счетных машинах. Существуют электронные машины, работающие настолько быстро, что, например, если программа вычислений уже составлена и машина подготовлена к счету, траектория снаряда может быть вычислена в гораздо более короткий промежуток времени, чем тот, за который снаряд долетает до места назначения (см. главу XIV).