Длина.

Сложившееся у каждого человека наглядное представление о длине необходимо уточнить, превратить в точное определение длины математической кривой, которое вело бы к определенной численной характеристике и позволяло с любой степенью точности вычислять длину кривых и строго рассуждать, когда речь идет о длине. Это относится ко всем математическим понятиям. Переход от неоформленных представлений к измерениям и точным определениям как раз представляет собой переход от донаучного понимания предмета к научному. Утвчнение понятий необходимо в конечном итоге для нужд техники и естествознания, развитие которых и потребовало изучения свойств длин, площадей и других геометрических величин.

Простое и наиболее употребительное определение длины следующее: длина кривой есть предел длин вписанных в эту кривую ломаных при условии, что вершины ломаных безгранично сгущаются на самой кривой.

Такое определение исходит из естественного способа измерения. На кривой последовательно отмечаются точки (рис. 4)

и измеряются расстояния между ними. Сумма этих расстояний (эта сумма и есть длина вписанной ломаной) выражает приближенно длину кривой. Чтобы определить длину точнее, естественно брать точки А гуще, тогда лучше будут учтены изгибы кривой. Наконец, точное значение длины определяется как предельное значение при безграничном сгущении точек Таким образом, данное определение длины представляет обобщение вполне реального способа измерения длины, производимого все более мелкими шагами.

Рис. 5.

От определения длины легко перейти к формулам для ее вычисления, когда кривая задана аналитически. Заметим, однако, что математические формулы вовсе не служат для одного вычисления. Они представляют собой сокращенную запись теорем, устанавливающих связи между разными математическими величинами. Теоретическое значение таких связей может далеко превосходить вычислительное значение формулы. Например, теорема Пифагора, выражаемая формулой

вовсе не сводится к вычислению квадрата гипотенузы с, а указывает прежде всего на зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

Мы здесь выведем формулу для длины плоской кривой, заданной в декартовых координатах уравнением Предполагается при этом, что функция имеет непрерывную производную.

Впишем ломаную в кривую (рис. 5). Пусть — две ее соседние вершины, а — координаты этих вершин. Отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны

Поэтому, согласно теореме Пифагора,

Легко представить себе, что если проведенную через точкй прямую поднимать или опускать параллельно самой себе, то в момент, когда прямая будет отрываться от кривой, она займет положение касательной в какой-то точке В этой кривой, т. е. на участке кривой есть хотя бы одна точка, в которой касательная наклонена под тем углом, что и хорда очевидное замечание легко превратить в строгое доказательство.)

Сказанное позволяет заменить отношение тангенсом угла наклона касательной в точке В, т. е. заменить производной где — абсцисса точки В. Теперь длина одного звена имеет выражение

Вся же длина ломаной есть сумма длин ее звеньев. При сокращенном обозначении сложения знаком 2 имеем

Чтобы получить длину кривой, остается перейти к пределу при условии, что наибольшая из величин стремится к нулю,

Но такой предел сумм есть не что иное, как интеграл, согласно определению, которое было дано в главе II (том 1). Именно, это есть интеграл от функции VI Таким образом, длина плоской кривой выражается формулой

где пределы интегрирования а и — значения х на концах рассматриваемой дуги кривой.

Вывод соответствующей, но несколько иной формулы для длинь» пространственной кривой оказывается в основном таким же.

Фактическое вычисление длин по этим формулам, конечно, не всегда бывает простым. Так, длина окружности вычисляется посредством формулы (1) довольно сложно. Но, как мы уже сказали, формулы представляют интерес не только для вычисления; в частности, формула (1) важна также для исследования свойств длины, ее связи с другими величинами и т. п. Мы будем иметь случай использовать формулу (1) в главе VIII.