Задачи теории дифференциальных уравнений.

Дадим теперь точные определения. Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка с одной неизвестной функцией у называется соотношение вида

между независимым переменным х и значениями

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной от неизвестной функции, которая входит в дифференциальное уравнение. Так, дифференциальные уравнения, полученные нами в примере - первого порядка, в примерах — второго порядка.

Функция называется решением дифференциального уравнения (17), если после замены у на на на оно обращается в тождество.

Часто вопросы физики и техники приводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, в которые входит несколько неизвестных функций, зависящих от одного и того же аргумента, и их производные по этому аргументу.

Для большей конкретности изложения в дальнейшем будем говорить главным образом об одном обыкновенном дифференциальном уравнении не выше 2-го порядка с одной только неизвестной функцией. На этом примере выясняются существенные свойства всех обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений, у которых число неизвестных функций равно числу уравнений.

Выше мы говорили о том, что каждое дифференциальное уравнение имеет, как правило, не одно, а бесконечное множество решений. Возвратимся сейчас к этому вопросу и прежде всего поясним его наглядными соображениями, основанными на разобранных выше примерах 2—6. В каждом из них дифференциальное уравнение, соответствующее рассматриваемой физической системе, вполне определялось только устройством этой системы. Но в каждой из этих систем могли происходить различные процессы. Например, совершенно ясно, что маятник, движение которого подчиняется уравнению (8), может совершать весьма разнообразные колебания. Каждому определенному колебанию маятника отвечает свое решение уравнения (8), и таких

решений оно должно иметь бесконечно много. Можно показать, что уравнению (8) удовлетворяет любая функция вида

где — произвольные постоянные.

Физически ясно также, что движение маятника будет вполне определено только в том случае, когда мы в некоторый момент зададим (начальное) значение х, равное (начальное отклонение материальной точки от положения равновесия), и начальную скорость движения этим начальным условиям определяют постоянные в формуле (18).

Точпо так же дифференциальные уравнения, полученные нами в других примерах, будут иметь бесконечно много решений.

Вообще при очень широких предположениях относительно заданного дифференциального уравнения (17) га-го порядка с одной неизвестной функцией можно показать, что оно имеет бесконечно многс решений. Более точно: если для некоторого «начального значения» аргумента мы зададим «начальные значения» неизвестной функции и всех ее производных до порядка включительно, то для уравнения (17) найдется решение, обладающее предписанными ему заранее «начальными данными». Можно также показать, что такими начальными условиями решение определяется вполне, существует только одно решение, удовлетворяющее поставленным выше начальным условиям. Позже мы будем говорить об этом более подробно. Для наших же целей сейчас существенно отметить, что начальные значения функции и первых производных от нее могут быть заданы произвольно. Мы имеем праве распорядиться выбором величин, определяющих «начальное состояние» разыскиваемого решения.

Если мы захотим построить формулу, которая объединяла бы в себе, если это возможно, все решения дифференциального уравнения порядка то такая формула должна будет содержать ровно независимых произвольных постоянных, выбором значений которых мы могли бы удовлетворить начальным условиям. Такие решения дифференциального уравнения порядка которые содержат независимых произвольных постоянных, обычно называют общими решениями уравнения. Так, например, общее решение уравнения (8) дается формулой (18), содержащей две произвольные постоянные; общее решение уравнения (3) дается формулой (5).

Теперь мы постараемся в самых общих чертах описать те задачи, которые стоят перед теорией дифференциальных уравнений. Они разнообразны и многочисленны. Мы укажем главнейшие из них.

Если к дифференциальному уравнению присоединить начальные данные, то решение дифференциального уравнения будет определено вполне. Построение формул, дающих явные представления решений, является одной из первых задач теории. Такие формулы могут быть построены только в простых случаях, но если они найдены, то это оказывает большую помощь и в вычислениях и в исследовании решения.

Теория должна дать возможность получить представление о характере поведения решения: будет ли оно монотонным или колеблющимся, является ли оно периодическим или стремится к периодическому и т. п.

Представим себе, что мы изменяем начальные значения для неизвестной функции и производных от нее (изменяем начальное состояние изучаемой системы), тогда будет изменяться и само решение (будет иначе протекать процесс). Теория должна обеспечить нам возможность судить о том, каким будет это изменение. В частности, будет ли при малых изменениях начальных данных мало изменяться и само решение и будет ли оно, следовательно, устойчивым в этом отношении, или же малые изменения начальных данных могут вызвать сильные изменения в самом решении, и оно будет неустойчивым.

Мы должны также уметь составить качественную и, там, где можно, количественную картину поведения не только отдельных решений уравнения, но и всех его решений, взятых вместе.

При конструировании часто возникает вопрос о таком выборе параметров, характеризующих прибор или машину, который обеспечивал бы хорошую их работу. Параметры прибора входят в виде некоторых величин в дифференциальное уравнение, служащее для описавия его работы. Теория должна помочь нам выяснить, что будет происходить с решениями уравнения (с работой прибора), если мы будем изменять само дифференциальное уравнение (менять входящие в него параметры прибора).

Наконец, когда потребуется произвести расчет, нужно будет находить решение уравнения численно, здесь теория обязана будет доставить в руки инженера и физика методы возможно более экономного и быстрого вычисления решений.