Нерегулярные поверхности и геометрия «в целом».

Теория кривых и поверхностей (а также их семейств), как она сложилась в конце прошлого столетия, называется обычно классической дифференциальной геометрией; для нее характерны, в частности, следующие особенности.

Во-первых, она рассматривает только «достаточно гладкие», так называемые регулярные кривые и поверхности, т. е. такие, которые задаются функциями, имеющими достаточное число производных. Поэтому, например, поверхности с остриями и ребрами, такие, как многогранные поверхности или поверхность конуса, либо вовсе исключаются из рассмотрения, либо рассматриваются только на тех кусках, где они остаются гладкими.

Во-вторых, классическая дифференциальная геометрия исследует специально свойства достаточно малых участков кривых и поверхностей (геометрия в «малом»), вовсе не обращаясь к таким вопросам, как свойства целых замкнутых поверхностей (относящиеся уже к так называемой геометрии «в целом»).

Рис. 50.

Типичные примеры, обнаруживающие различие геометрии «в малом» и «в целом», дает изгибание поверхностей. Например, еще в 1838 г. Миндинг доказал, что достаточно малый кусок сферы изгибаем (теорема «в малом»). Вместе с тем он высказал предположение, что целая сфера, уже неизгибаема. Эта теорема была доказана другими математиками лишь в 1899 г. Кстати, неизгибаемость сферы, сделанной из гибкого, но практически нерастяжимого материала, легко обнаруживается на опыте. Так например, мяч для игры в настольный теннис твердый, в то время как он сделан из довольно гибкого материала. Еще один пример, о котором уже говорилось в § 4, представляет простое жестяное ведро; оно в целом жестко благодаря наличию круглой закраины; отдельные же участки той же поверхности допускают изгибания. Как видим, между свойствами поверхностей «в малом» и «в целом» может обнаруживаться существенное различие.

Характерные примеры дает также теория геодезических линий, с элементами которой мы познакомились в § 4. Геодезическая «в малом», т. е. на малом участке, — кратчайшая, но «в целом» она может вовсе не быть кратчайшей, а может быть, например, замкнутой, как показывает пример больших кругов на сфере.

Читатель легко заметит, что формулированные в § 4 теоремы о геодезических являются в основном теоремами «в малом». Вопросы же о поведении геодезических на всем их протяжении будут относиться к геометрии «в целом». Известно, например, что на регулярной поверхности две достаточно близкие точки соединимы единственной геодезической, не выходящей из некоторой малой окрестности. Если же рассматривать и геодезические, значительно удаляющиеся на своем протяжении

от этих точек, то, согласно теореме Морса, любую пару точек на замкнутой поверхности можно соединить бесконечным числом геодезических. Так, две точки А, В на боковой поверхности круглого цилиндра можно соединять весьма различными геодезическими: достаточно брать винтовые линии, которые на пути от А к В различное число раз обходят вокруг цилиндра. К геометрии «в целом» относится и доказанная Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом теорема Пуанкаре о замкнутых геодезических, о которой идет речь в § 5 главы XVIII (том 3).

Доказательство этих теорем, как и многих других теорем геометрии «в целом», оказалось недоступным обычным приемам классической дифференциальной геометрии и потребовало изобретения новых методов.

Как задачи геометрии «в целом» неизбежно должны были привлечь внимание математиков, так и ограничение одними регулярными поверхностями не могло удержаться в науке хотя бы потому, что мы постоянно сталкиваемся с нерегулярными, не непрерывно изогнутыми поверхностями, такими, как поверхности куба, конуса, выпуклой линзы с острым краем и т. д. Кроме того, очень многие аналитические поверхности при естественном продолжении необходимо получают «особенности» — нарушения регулярности, как, например, ребра или острия. Так, кусок поверхности конуса при естественном продолжении приводит к вершине — острию, где нарушается гладкость поверхности.

Последний результат есть лишь частный случай следующей замечательной теоремы. Всякая развертывающаяся поверхность, не являющаяся цилиндрической, при естественном продолжении доходит до ребра (или острия в случае конуса), за которое она с сохранением регулярности уже не может быть продолжена.

Таким образом, между поведением поверхности «в целом» и ее особенностями есть глубокая связь. Такова одна из причин, по которым решение задач «в целом» и изучение поверхностей с «особенностями» (ребрами, остриями, разрывами кривизны и т. п.) должны развиваться вместе.

Аналогичные новые направления возникали в анализе. Так, например, качественная теория дифференциальных уравнений, о которой говорилось в § 7 главы V, как раз исследует свойства решений дифференциального уравнения во всей области его определения, т. е. «в целом», и она же обращает специальное внимание на «особенности», на нарушения регулярности, на особые точки уравнений. Кроце того, современный анализ включил в сферу исследования нерегулярные функции, которыми не занимался классический анализ (см. главу XV, том 3); это дало геометрии новые средства для изучения более общих поверхностей. Наконец, в вариационном исчислении, где обычно ищется кривая или поверхность, обладающая теми или иными экстремальными свойствами, иногда оказывалось, что предельная кривая, для которой достигается экстремум, не является регулярной. Необходимая в постановке таких задач замкнутость класса кривых или поверхностей также требовала расширения круга рассматриваемых линий

и поверхностей — прежде всего за счет привлечения хотя бы простейших нерегулярных кривых и поверхностей. Словом, новые направления в геометрии рождались не изолированно, а в тесной связи со всем развитием математики.

Поворот к решению задач «в целом» и изучению не только регулярных поверхностей начался около 50 лет назад. В разработке этого нового направления приняли участие многие математики. Первый существенный вклад сделал Герман Минковский (1864—1909), положивший начало обширной главе геометрии — теории выпуклых тел. Кстати, одним из вопросов, побудивших Минковского к этим исследованиям, были задачи о правильных решетках, тесно связанные с теорией чисел и геометрической кристаллографией.

Рис. 51.

Тело называется выпуклым, если через каждую точку его поверхности можно провести плоскость, не рассекающую это тело, т. е. это тело можно любой точкой поверхности упереть в плоскость (рис. 51). Выпуклое тело определяется своей поверхностью, и в большой степени безразлично, говорим ли мы о теории выпуклых тел или о теории замкнутых выпуклых поверхностей. Общие теоремы о выпуклых телах справедливы, как правило, без каких бы то ни было дополнительных предположений гладкости или «регулярности» их поверхностей. К тому же эти теоремы относятся обычно именно к целому выпуклому телу или поверхности. Теория выпуклых тел и поверхностей, таким образом, в самой своей основе преодолевала ограничения классической дифференциальной геометрии. Однако она была с ней очень мало связана; объединение этих теорий произошло значительно позже.

Начиная с 1940 г., А. Д. Александров развил теорию общих кривых и поверхностей. Эта теория охватывает и регулярные поверхности классической дифференциальной геометрии и негладкие поверхности: многогранные, любые выпуклые и др. Несмотря на большую общность постановки вопросов и выводов этой теории, в ее основе лежат прежде всего наглядные геометрические понятия и методы, хотя она существенно использует также понятия и методы современного анализа. Одним из основных методов теории является приближение общих поверхностей многогранниками (многогранными поверхностями). Этот прием в простейшей форме

знаком каждому школьнику, например, из вычисления площади боковой поверхности цилиндра как предела площадей призм. В ряде случаев этот метод дает сильные результаты, которые либо не удается получить другим путем, либо они требуют при аналитическом подходе больших усилий и привлечения сложных соображений. Суть метода состоит в том, что задача сначала решается для многогранников, а потом результат переносится на общие поверхности путем предельного перехода.

Рис. 52.

Одной из основ теории общих выпуклых поверхностей явилась теорема об условиях, при которых из данной развертки можно склеить выпуклый многогранник. Эта теорема, вполне элементарная по формулировке, имеет, однако, неэлементарное доказательство и приводит к далеко идущим следствиям для общих выпуклых поверхностей. Читатель, конечно, знаком со склеиванием многогранников или поверхностей из кусков, например: склеивание куба из крестообразной выкройки (рис. 52) или цилиндра из прямоугольника и двух кругов. Этот простой прием склеивания поверхностей из кусков превращается в общий метод «разрезывания и склеивания», дающий в разнообразных вопросах теории поверхностей сильные результаты и нашедший практические применения.

Глубокие результаты вэтойтеории были получены А. В. Погореловым. В частности, он доказал, что любая замкнутая выпуклая поверхность неизгибаема как целое с сохранением ее выпуклости. Этот результат, полученный в 1949 г., завершает усилия многих известных математиков, которые на протяжении 50 лет пытались доказать эту теорему и получали ее доказательство лишь при тех или иных дополнительных предположениях. Выводы А. В. Погорелова в соединении с «методом склеивания» дали не только полное решение этой задачи, но почти до конца выяснили весь вопрос об изгибаемости или неизгибаемости замкнутых и незамкнутых выпуклых поверхностей. Им установлена также тесная связь новой теории с «классической».

Таким образом, построена теория поверхностей, охватывающая как классическую теорию, так и теорию многогранников, любых выпуклых и весьма общих невыпуклых поверхностей. Недостаток места не позволяет рассказать здесь о выводах и нерешенных еще задачах этой теории подробнее, хотя это и можно было бы сделать, так как они во многом

вполне наглядны и, несмотря на трудности точных доказательств, не требуют для понимания постановки задач особых знаний.

Выше в § 4, говоря об изгибаниях поверхностей, мы имели в виду изгибания регулярных (непрерывно искривленных) поверхностей, сохраняющие их регулярность. В упомянутой только что теореме Погорелова, напротив, не требуется никакой регулярности исходной или изогнутой поверхности, однако налагается требование выпуклости обеих поверхностей.

Очевидно, что изгибание сферы, например, становится возможным, если допустить нарушение выпуклости и изломы получаемой поверхности. Достаточно отрезать от сферы некоторый сегмент и вставить его на прежнее место в перевернутом виде, т. е. как бы продавить участок сферы во внутрь, как мы получим пример такого рода изгибания. Значительно более неожиданным оказывается результат, полученный недавно американским математиком Пешем и голландским математиком Кейпером. Они показали, что если сохранять только гладкость поверхности и допустить появление сколь угодно резких переходов в кривизне поверхности (т. е. отказаться от каких бы то ни было требований непрерывности, ограниченности и даже существования вторых производных у задающих поверхность функций), то окажется возможным изгибать поверхность как целое с очень большой степенью произвола. В частности сфера может быть изогнута в сколь угодно маленький комочек, представляющий собой гладкую поверхность, состоящую из весьма мелких волнистых складок. Некоторое представление о такой деформации подсказывает ясно вообразимая возможность весьма произвольно мять сделанный из мягкого как тряпочка пластиката сферический чехол. Иначе обстоит дело с целлулоидовым мячиком. Его упругая поверхность не допускает не только растяжений, но и крутых перегибов, и такой мяч оказывается именно поэтому весьма жестким.