Энергия колебаний и краевая задача для уравнения колебаний.

Рассмотрим теперь условия, при которых решается третье из основных уравнений математической физики, написанных нами, а именно уравнение (9).

Для простоты разберем уравнение колебании струны которое близко напоминает уравнение (9) и отличается от него лишь числом пространственных переменных. В правой части этого уравнения стоит величина, выражающая ускорение произвольной точки струны.

Движение любой механической системы, в которой действующие силы, а следовательно, и ускорения выражаются через координаты участвующих в движении тел, вполне определяется, если заданы начальные положения и скорости всех точек системы. Поэтому для уравнения колебаний струны естественно задать в начальный момент положения и скорости всех точек

Кроме того, как мы уже говорили выше, на концах струны перестают действовать те формулы, которые выражали законы механики для внутренних точек. Поэтому на обоих концах нам придется задать дополнительные условия. Если, например, струна неподвижно закреплена в положении равновесия на обоих концах, то мы будем иметь

Эти условия иногда могут быть заменены другими, более общими, но такая замена не является уже принципиальной.

Аналогично этому ставится и задача о разыскании нужных решений уравнения (9). Для того чтобы такое решение стало определенным, обычно задают

а также одно из «краевых условий»

Различие с предыдущим случаем состоит в том, что вместо одного начального условия в уравнении (11) мы будем иметь два условия (13).

Уравнения (14) выражают, очевидно, физические законы для частиц, находящихся на границе рассматриваемого объема.

Доказательство того, что в общем случае условия (13) в сочетании с любым из условий (14) определяют единственное решение задачи, мы проводить не будем. Мы докажем, что такое решение может быть единственным для одного из условий (14).

Пусть нам известно, что некоторая функция и удовлетворяет уравнению

начальным условиям

и граничному условию

(Так же легко можно было бы разобрать случай, когда и )

Докажем, что функция и при этих условиях должна быть тождественным нулем.

Для доказательства этого свойства нам уже будет недостаточно соображений, которыми мы пользовались, устанавливая единственность

решения двух первых задач. Однако здесь нам может помочь физическая интерпретация.

Привлечем на помощь еще один физический закон — «закон сохранения энергии». Представим себе для простоты опять колеблющуюея струну, смещение точек которой к удовлетворяет уравнению

Кинетическая энергия каждой колеблющейся частички струны от х до выражается в виде

Кроме кинетической энергии, струна в отклоненном положении обладает еще потенциальной энергией, обусловленной ее растяжением по сравнению с прямолинейным расположением. Подсчитаем эту потенциальную энергию. Представим себе элемент струны между точками Этот элемент имеет наклонное положение по отношению к оси в связи с чем его длина равна приближенно а удлинение:

Умножая это удлинение на силу натяжения Т, получаем потенциальную энергию растянутого элемента струны в виде

Полная энергия струны длины получится, если мы просуммируем кинетическую и потенциальную энергию по всем точкам струны. Мы получим

Если силы, приложенные к концам струны не производят работы, в частности если концы струны закреплены, то полная энергия струны, должна оставаться постоянной.

Мы получим таким образом уравнение

Полученное нами выражение закона сохранения энергии есть математическое следствие основных уравнений механики и может быть выведено из них. Поскольку законы движения уже записаны нами

в виде дифференциального уравнения колебаний струны и условий на концах, мы можем и самому закону сохранения энергии дать в этом случае математическое доказательство. Действительно, дифференцируя Е по времени, на основании общих правил будем иметь

Пользуясь волновым уравнением (6) и заменяя через приведем к виду

Если 4—1 или и I обращаются в нуль и, кроме того, или и обращаются в нуль, то

что и доказывает постоянство Е.

Для волнового уравнения (9) можно было бы совершенно таким же образом доказать существование закона сохранения энергии. Если удовлетворяет уравнению (9) и условию

то величина

будет не зависящей от

Если в начальный момент времени полная энергия колебаний равна нулю, то она останется всегда равной нулю, а это возможно только в том случае, когда никакого движения не происходит. Если бы задача об интегрировании волнового уравнения с начальными и граничными условиями допускала два решения , то разность их была бы решением волнового уравнения, удовлетворяющим условиям с нулевыми правыми частями, т. е. однородным условиям.

Но тогда, составив «энергию» таких колебаний, описываемых функцией мы убедились бы, что эта энергия равна нулю в начальный

момент времени. Значит, она равна нулю всегда и, значит, функция тождественно равна нулю, и оба решения р, и совпадают. Таким образом, решение задачи единственно.

Итак, мы убедились, что для всех трех рассмотренных нами уравнений постановки задач выбраны нами правильно.

Попутно мы сумели изучить и некоторые простейшие свойства решений этих уравнений. Решения уравнения Лапласа, рассмотренные нами, оказались обладающими свойством максимума: функции, удовлетворяющие этому уравнению, принимают наибольшее или наименьшее значения на границах области существования.

Функции, описывающие распространение тепла в среде, обладают свойством максимума в несколько другой форме. Всякий максимум или минимум температуры, имеющийся в какой-нибудь точке, рассасывается уменьшается во времени. Температура в какой-либо точке может подниматься или опускаться лишь в том случае, если в ближайших точках она выше или ниже, чем в рассматриваемой. Тепловая картина сглаживается с течением времени. Все неровности в ней выравниваются за счет перетекания тепла от теплых мест к холодным.

Никакого выравнивания возмущения при распространении колебаний, в отличие от того, что мы имели при распространении тепла, не происходит. Наоборот, имеющиеся колебания сами по себе не прекращаются и не сглаживаются, при этом сумма кинетической и потенциальной энергии колебаний все время остается постоянной.