Изгибание поверхностей.
С внутренней геометрией, изучающей свойства поверхностей, не меняющиеся при изгибаниях, тесно связано исследование самих изгибаний. Теория изгибания поверхностей принадлежит к числу наиболее содержательных и трудных разделов геометрии и включает многочисленные проблемы, некоторые из которых, несмотря на простоту и естественность постановки, до сих пор не получили окончательного решения.
Вопросами изгибания поверхностей занимались еще Эйлер и Миндинг, но общие результаты, касающиеся изгибания любых поверхностей, были получены позже.
В общей теории изгибаний прежде всего встает вопрос о том, всегда ли можно изгибать поверхность, и если можно, то с какой степенью произвола. Для так называемых аналитических поверхностей, т. е. поверхностей, которые можно задать функциями координат, разлагающимися в ряд Тейлора, этот вопрос был решен в конце прошлого века французским геометром Дарбу. В частности, оказалось следующее: если на поверхности взять любую геодезическую и задать в пространстве произвольную
(аналитическую) кривую той же длины, нигде не имеющую нулевой кривизны, то достаточно узкая полоска поверхности, содержащая данную геодезическую, может быть изогнута так, что геодезическая превратится в данную кривую. Эта теорема показывает, что полоску поверхности можно гнуть довольно произвольно. Однако доказано, что если кривая, в которую должна перейти геодезическая, задана, то поверхность можно изогнуть не более чем двумя способами. (Например, если эта линия плоская, то два положения поверхности будут зеркально симметричными относительно этой плоскости.) Если же геодезическая является прямой, то последнее утверждение неверно, как показывает любой пример изгибания цилиндрической поверхности.
Рис. 42.
Рис. 43.
Мы определяли изгибание как такую деформацию поверхности, в результате которой длины всех кривых на поверхности остаются неизменными. При этом речь шла об окончательном результате деформации; вопрос о том, как ведет себя поверхность в процессе деформации, не ставился. Между тем, рассматривая поверхность как сделанную из гибкого, но нерастяжимого материала, естественно рассматривать непрерывную деформацию, в каждый момент которой длины остаются неизменпыми (физически это и соответствует нерастяжимости материала). Такие деформации называются непрерывными изгибаниями.
На первый взгляд может показаться, что всякое изгибание можно осуществить непрерывным путем, однако это не так. Например, доказано, что поверхность, имеющая форму круглого жолоба (рис. 42), не допускает непрерывных изгибаний (этим, между прочим, объясняется тот общеизвестный факт, что ведро с загнутым краем значительно прочнее, нежели с ровным), хотя изгибание такой поверхности возможно: достаточно разрезать жолоб по окружности, вдоль которой он касается горизонтальной плоскости, и заменить одну из половинок ее зеркальным отражением в этой плоскости (на рис. 43, как и на рис. 42, для наглядности изображена только половина рассматриваемой поверхности). Интуитивно понятно, что
непрерывному изгибанию жолоба препятствует его кольцеобразная форма например, для прямого жолоба изгибание, аналогичное описанному, ложно совершить непрерывно).
Если ограничиться достаточно малым участком поверхности, то никаких видимых препятствий для его непрерывного изгибания нет, и можно было бы ожидать, что всякое изгибание малого участка поверхности осуществимо непрерывным образом с добавлением, быть может, одного зеркального отражения. Это действительно верно, но только при условии, что на рассматриваемом малом участке поверхности гауссова кривизна не обращается в нуль (не считая случая, когда она везде равна нулю). Если же гауссова кривизна обращается в нуль в отдельных точках, то, как доказал в 1940 г. Н. В. Ефимов, даже сколь угодно малые куски поверхности могут не допускать непрерывных изгибаний с сохранением регулярности. Так, например, поверхность, задаваемая уравнением 
, где X — трансцендентное число, такова, что никакой, даже сколь угодно малый ее участок, содержащий начало координат, не допускает достаточно регулярных непрерывных изгибаний. Теорема Ефимова является новым и несколько неожиданным результатом в классической дифференциальной геометрии.
Наряду с общими вопросами теории изгибания большое место в геометрии занимают исследования специальных типов изгибания поверхностей.
