§ 2. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Способы задания кривых в дифференциальной геометрии.
Из анализа и аналитической геометрии мы уже знакомы с заданием кривых уравнениями. В прямоугольных координатах на плоскости кривую можно задавать либо уравнением
либо более общим уравнением
Рис. 2.
Однако этот способ годится только для плоской кривой (т. е. линии на плоскости). Между тем необходимо также уметь задавать уравнениями пространственные кривые (не умещающиеся ни в какой плоскости). Примером такой кривой может служить винтовая линия (рис. 2).
Для целей дифференциальной геометрии и во многих других вопросах наиболее удобно представлять себе кривую как след непрерывного движения точки. Конечно, данная кривая может иметь совсем другое происхождение, но мы всегда можем мысленно заставить какую-либо точку пробегать данную кривую.
Предположим, что в пространстве фиксирована некоторая декартова система координат. Если заставить подвижную точку X пробегать кривую за время от 
до 
то координаты этой подвижной точки окажутся функциями времени 
. Наглядными примерами могут
служить, полет самолета или полет снаряда. Обратно, если заранее заданы функции 
то ими можно определять координаты подвижной точки X. Точка, двигаясь с изменением 
начертит тем самым некоторую кривую. Таким образом, кривые в пространстве можно задавать тремя уравнениями вида:
Точно так же на плоскости кривая определится двумя уравнениями
Этот способ задания кривых является наиболее общим.
Рассмотрим для примера винтовую линию. Она получается при винтовом движении точки, которое складывается из равномерного вращения вокруг некоторой прямой — оси винта — и равномерного перемещения вдоль той же оси. Примем ось винта за ось 
Пусть в момент 
точка лежит на оси 
Найдем зависимость ее координат от времени. 
движение вдоль оси 
происходит со скоростью с, то, очевидно, смещение в этом направлении за время t будет
Если 
— угол поворота вокруг оси 
и а — расстояние от точки до оси, то, как видно из рис. 2,
Так как вращение равномерно, то угол 
пропорционален времени: 
угловая скорость вращения). Таким образом получаем
Это и будут уравнения винтовой линии; с изменением t точка с такими координатами зачерчивает винтовую линию.
Конечно, переменной 
или, как обычно говорят, параметру 
не обязательно придавать смысл времени. Кроме того, от данного параметра t можно переходить к другому: можно, например, ввести другую переменную и по формуле 
или вообще 
. В геометрии наиболее естественно выбирать за параметр длину 
дуги кривой, отсчитываемую от какой-либо фиксированной точки А на кривой. Каждому возможному значению длины 
отвечает своя дуга 
Поэтому положение X полностью определяется величиной 
и координаты точки X тем самым выразятся как функции длины дуги 
Все эти, так же как и возможные другие, способы задания кривых открывают путь к применению вычислений при исследовании. Только охарактеризовав кривую уравнениями, можно исследовать ее свойства средствами математического анализа.
В дифференциальной геометрии с плоскими кривыми связывают три основных понятия: длину, касательную и кривизну. С пространственными кривыми связывают еще так называемые соприкасающуюся плоскость и кручение. Сейчас мы последовательно выясним смысл и значение этих понятий.
Рис. 3.
Рис. 4.
