§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ

Для простоты будем сначала рассматривать только одно дифференциальное уравнение порядка с одной неизвестной функцией

где функция f(x, у) определена в некоторой области на плоскости Это уравнение задает в каждой точке области значение углового коэффициента касательной к проходящему через эту точку графику решения уравнения (29). Если в каждой точке области представить с помощью некоторого отрезка (оба направления по этому отрезку для нас равноправны) направление касательной, определяемое значением в этой точке, то получим поле направлений. Тогда задачу разыскания решения дифференциального уравнения (29) по начальному условию можно сформулировать так: в области требуется найти проходящую через точку кривую которая в каждой своей точке имеет касательную с задаваемым уравнением (29) угловым коэффициентом в этой точке или, как говорят короче, которая имеет в каждой своей точке заданное направление.

С геометрической точки зрения в такой постановке задачи представляются неестественными следующие обстоятельства:

1. Требуя, чтобы угловой коэффициент заданного в любой точке области направления равнялся мы тем самым исключаем направления, параллельные так как мы вообще всюду рассматриваем только конечные величины; в частности, предполагается, что функция в правой части уравнения (29) принимает всюду только конечные значения.

2. Рассматривая только кривые, служащие графиками функций от х, мы тем самым исключаем из рассмотрения те линии, которые с некоторыми перпендикулярами к оси пересекаются больше одного раза, так как мы всюду рассматриваем только однозначные функции; в частности, всякое решение дифференциального уравнения предполагается однозначной функцией от х.

Поэтому мы несколько обобщим предыдущую постановку задачи разыскания решения дифференциального уравнения (29). Именно, будем допускать, что поле направлений в некоторых точках параллельно оси . В тех точках, где угловой коэффициент по отношению к оси не имеет смысла, будем пользоваться угловым коэффициентом по отношению к оси Соответственно этому, наряду с дифференциальным уравнением (29), будем рассматривать уравнение

где используя второе уравнение там, где первое не имеет смысла, а второе имеет смысл. Задачу же интегрирования дифференциальных уравнений (29) и (29) поставим так: в области найти все линии, имеющие в каждой точке направление, заданное этими уравнениями. Эти линии будем называть интегральными линиями (интегральными кривыми) уравнений (29) и (29) или поля направлений, задаваемого этими уравнениями. Вместо множественного числа «уравнения (29), часто будем употреблять единственное число: «уравнение (29), Ясно, что график всякого решения уравнения (29) будет интегральной кривой уравнения (29), (29). Но не всякая интегральная кривая уравнения (29), (29) будет графиком решения уравнения (29). Этого не будет, например, если некоторый перпендикуляр к оси пересечет эту линию больше, чем в одной точке

В дальнейшем, если будет явно указано, что

то мы, наряду с уравнением

не будем выписывать уравнение

Иногда вместо этих уравнений, вводя параметр пишут систему уравнений

где рассматриваются как функции

Пример 1. Уравнение задает поле направлений всюду, за исключением начала координат.

Рис. 7.

Рис. 8.

Схематически это поле изображено на рис. 7. Все определяемые уравнением (30) направления проходят через начало координат. Ясно, что при любом к функция

является решением уравнения (30). Совокупность же всех интегральных линий этого уравнения задается соотношением

где — любые постоянные, не равные нулю одновременно. Ось является интегральной линией уравнения (30), но не служит графиком его решения.

Так как уравнение (30) не определяет поля направлений в начале координат, то линии (31) и (32) являются, строго говоря, интегральными линиями всюду, за исключением начала координат. Поэтому правильнее говорить, что интегральными линиями уравнения (30) являются не прямые, проходящие через начало координат, а полупрямые, выходящие из начала координат.

Пример 2. Уравнение

задает поле направлений всюду, за исключением начала координат. Схематически оно изображено на рис. 8. Направления, задаваемые в точке (х, у) уравнениями (30) и (33), взаимно перпендикулярны. Ясно, что все окружности, имеющие центр в начале координат, будут интегральными кривыми уравнения (33). Решениями же этого уравнения будут функции

Для краткости в дальнейшем будем говорить иногда «решение проходит через точку вместо того, чтобы говорить точнее: «график решения проходит через точку