Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ

Для простоты будем сначала рассматривать только одно дифференциальное уравнение порядка с одной неизвестной функцией

где функция f(x, у) определена в некоторой области на плоскости Это уравнение задает в каждой точке области значение углового коэффициента касательной к проходящему через эту точку графику решения уравнения (29). Если в каждой точке области представить с помощью некоторого отрезка (оба направления по этому отрезку для нас равноправны) направление касательной, определяемое значением в этой точке, то получим поле направлений. Тогда задачу разыскания решения дифференциального уравнения (29) по начальному условию можно сформулировать так: в области требуется найти проходящую через точку кривую которая в каждой своей точке имеет касательную с задаваемым уравнением (29) угловым коэффициентом в этой точке или, как говорят короче, которая имеет в каждой своей точке заданное направление.

С геометрической точки зрения в такой постановке задачи представляются неестественными следующие обстоятельства:

1. Требуя, чтобы угловой коэффициент заданного в любой точке области направления равнялся мы тем самым исключаем направления, параллельные так как мы вообще всюду рассматриваем только конечные величины; в частности, предполагается, что функция в правой части уравнения (29) принимает всюду только конечные значения.

2. Рассматривая только кривые, служащие графиками функций от х, мы тем самым исключаем из рассмотрения те линии, которые с некоторыми перпендикулярами к оси пересекаются больше одного раза, так как мы всюду рассматриваем только однозначные функции; в частности, всякое решение дифференциального уравнения предполагается однозначной функцией от х.

Поэтому мы несколько обобщим предыдущую постановку задачи разыскания решения дифференциального уравнения (29). Именно, будем допускать, что поле направлений в некоторых точках параллельно оси . В тех точках, где угловой коэффициент по отношению к оси не имеет смысла, будем пользоваться угловым коэффициентом по отношению к оси Соответственно этому, наряду с дифференциальным уравнением (29), будем рассматривать уравнение

где используя второе уравнение там, где первое не имеет смысла, а второе имеет смысл. Задачу же интегрирования дифференциальных уравнений (29) и (29) поставим так: в области найти все линии, имеющие в каждой точке направление, заданное этими уравнениями. Эти линии будем называть интегральными линиями (интегральными кривыми) уравнений (29) и (29) или поля направлений, задаваемого этими уравнениями. Вместо множественного числа «уравнения (29), часто будем употреблять единственное число: «уравнение (29), Ясно, что график всякого решения уравнения (29) будет интегральной кривой уравнения (29), (29). Но не всякая интегральная кривая уравнения (29), (29) будет графиком решения уравнения (29). Этого не будет, например, если некоторый перпендикуляр к оси пересечет эту линию больше, чем в одной точке

В дальнейшем, если будет явно указано, что

то мы, наряду с уравнением

не будем выписывать уравнение

Иногда вместо этих уравнений, вводя параметр пишут систему уравнений

где рассматриваются как функции

Пример 1. Уравнение задает поле направлений всюду, за исключением начала координат.

Рис. 7.

Рис. 8.

Схематически это поле изображено на рис. 7. Все определяемые уравнением (30) направления проходят через начало координат. Ясно, что при любом к функция

является решением уравнения (30). Совокупность же всех интегральных линий этого уравнения задается соотношением

где — любые постоянные, не равные нулю одновременно. Ось является интегральной линией уравнения (30), но не служит графиком его решения.

Так как уравнение (30) не определяет поля направлений в начале координат, то линии (31) и (32) являются, строго говоря, интегральными линиями всюду, за исключением начала координат. Поэтому правильнее говорить, что интегральными линиями уравнения (30) являются не прямые, проходящие через начало координат, а полупрямые, выходящие из начала координат.

Пример 2. Уравнение

задает поле направлений всюду, за исключением начала координат. Схематически оно изображено на рис. 8. Направления, задаваемые в точке (х, у) уравнениями (30) и (33), взаимно перпендикулярны. Ясно, что все окружности, имеющие центр в начале координат, будут интегральными кривыми уравнения (33). Решениями же этого уравнения будут функции

Для краткости в дальнейшем будем говорить иногда «решение проходит через точку вместо того, чтобы говорить точнее: «график решения проходит через точку

1
Оглавление
email@scask.ru