§ 5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ

О возможности разложения любого решения на более простые решения.

Решения задач математической физики, сформулированных нами выше, могут быть получены при помощи различных приемов. Методы их решения являются совершенно специфическими. В основе всех этих методов лежит, однако, одна общая идея. Как мы видели, все уравнения математической физики для малых значений неизвестных функций являются линейными относительно функции и ее производных. Линейными будут также и граничные и начальные условия.

Если мы составим разность каких-либо двух решений одного и того же уравнения, то эта разность будет решением такого же уравнения, но со свободным членом, равным нулю. Такое уравнение называют соответствующим однородным уравнением. (Например, для уравнения Пуассона соответствующим однородным уравнением будет уравнение Лапласа

Если два решения одного и того же уравнения удовлетворяют еще и одинаковым граничным условиям, то их разность будет удовлетворять соответствующим однородным условиям: для нее значение соответствующего выражения на границе будет равно нулю.

Таким образом, всё разнообразие решений такого уравнения, при данных граничных условиях, может быть получено прибавлением к какому-либо частному решению, удовлетворяющему заданным неоднородным условиям всевозможных решений однородного уравнения, удовлетворяющих однородным граничным условиям (но не удовлетворяющих, вообще говоря, начальным условиям).

Решения однородных уравнений, удовлетворяющих однородным условиям, можно складывать и умножать на постоянные числа, и мы снова будем получать аналогичные решения.

Если решение однородного уравнения с однородными условиями является функцией некоторого параметра, то, интегрируя по этому параметру, мы снова будем получать такие же решения. На этом основан важнейший метод решения всевозможных линейных задач для уравнений математической физики — метод наложения.

Решение задачи ищут в виде

где — частное решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям и не удовлетворяющее начальным условиям, некоторые решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющие соответствующим однородным граничным условиям. Если уравнение с самого начала было однородным и граничные условия тоже, то решение задачи можно искать в виде

Для того чтобы иметь возможность удовлетворить произвольным начальным условиям с помощью выбора частных решений однородного уравнения мы должны располагать достаточно большим набором таких решений.