Поверхности Римана для многозначных функций.

Существует весьма наглядный геометрический способ представления характера многозначности функции.

Рассмотрим опять функцию и проведем на плоскости z разрез вдоль положительной части оси Если точке z запретить пересекать разрез, то мы не сможем перейти от одного значения к другому непрерывным образом. Продолжая из точки будем приходить лишь к одному значению

Полученная таким образом в разрезанной z-плоскости однозначная функция называется однозначной ветвью функции Все значения распадаются на бесконечное множество однозначных ветвей

Рис. 23

Легко убедиться, что ветвь на нижней части разреза принимает то же значение, что ветвь на верхней стороне разреза.

Чтобы различить разные ветви заготовим бесконечно много экземпляров плоскости z, разрезанных вдоль положительной части оси и будем значения аргумента z, соответствующие ветви, изображать на листе. Точки, лежащие на разных экземплярах плоскости, но имеющие те же координаты, будут при этом соответствовать одному и тому же числу только изображение числа на листе означает, что мы рассматриваем ветвь логарифма.

Чтобы изобразить геометрически, что ветвь логарифма на нижней части разреза плоскости совпадает с ветвью логарифма на верхней части разреза плоскости, склеим плоскость с соединив нижнюю часть разреза на плоскости с верхней частью разреза на (та плоскости. Это построение приведет нас к многолистной поверхности, имеющей структуру винтовой лестницы (рис. 23). Роль центральной колонны лестницы при этом будут играть точки

Если точка переходит с одного листа на другой, то комплексное число возвращается к своему исходному значению, а функция переходит от одной ветви к другой.

Построенная поверхность носит название поверхности Римана функции Риман впервые выдвинул идею построения поверхностей, отображающих характер многозначности аналитических функций, и показал плодотворность этой идеи.

Приведем еще построение поверхности Римана для функции . Эта функция двузначна и имеет точку ветвления в начале координат.

Заготовим два экземпляра z-плоскости, расположенных один над другим и рассеченных вдоль положительной части оси

Рис. 24.

Если z, исходя из описывает замкнутый контур С, содержащий начало координат, то перейдет от одной ветви к другой, и, следовательно, точка поверхности Римана перейдет с одного листа на другой. Мы этого достигнем, если нижний борт разреза первого листа склеим с верхним бортом разреза второго листа. Если z описывает второй раз замкнутый контур С, то значение должно вернуться к исходному, и, следовательно, точка римановой поверхности должна вернуться к исходному положению на первом листе. Чтобы этого достигнуть, мы должны теперь нижний борт второго листа подклеить к верхнему борту первого листа. В результате мы получим двухлистиую поверхность, пересекающую самое себя вдоль положительной части оси Представление об этой поверхности можцо получить из рис. 24, на котором изображена окрестность точки на этой поверхности...

Подобного рода многолистные поверхности, отражающие характер многозначности функции, можно строить для всякой многозначной функции. Различные листы этих поверхностей связываются друг с другом около точек ветвления функции. Оказывается, что свойства

аналитических функций тесно связываются с геометрическими свойствами римановых поверхностей. Введение этих поверхностей не только явилось вспомогательным средством для пояснения характера многозначности функции, но играет фундаментальную роль для изучения свойств аналитических функций и развития методов их исследования. Римановы поверхности как бы создали мост, связывающий анализ в области комплексного переменного с геометрией, и не только позволили связать самые глубокие аналитические свойства функции с геометрией, но дали толчок к развитию новой области геометрии — топологии, занимающейся геометрическими свойствами фигур, остающихся неизменными при непрерывных деформациях.

Рис. 25.

Один из ярких примеров значения геометрических свойств римановых поверхностей дает теория алгебраических функций, — функций, получаемых путем решения уравнения

левая часть которого есть многочлен от Поверхность Римана такой функции непрерывным изменением может быть всегда превращена или в сферу, или в сферу, снабженную несколькими ручками (рис. 25). Характерным свойством этих поверхностей является число ручек. Это число называется родом поверхности и родом алгебраической функции, исходя из которой получена эта поверхность. Оказывается, что род алгебраической функции определяет наиболее важные ее свойства.