Случай приближения функций многочленами.

Особенно важное общетеоретическое значение имеет применение изложенных выше исследований

дований П. Л. Чебышева к вопросу о приближении произвольной функции на заданном отрезке при помощи многочленов данной степени Многочлены степени образуют семейство функций, зависящих от и их коэффициентом — параметров. К многочленам, как это можно доказать, полностью применима теория Чебышева, так что, если надо узнать, приближает ли равномерно наилучшим образом заданный многочлен функцию на отрезке среди всевозможных многочленов данной степени нужно найти все те значения х на этом отрезке, для которых функция достигает своего максимума на

Если при этом среди них можно указать значения таких, что в них разность последовательно меняет знак

то есть наилучший многочлен: в противном случае не есть паилучший многочлен. Например, решением задачи о наилучшем равномерном приближении при помощи многочленов первой степени функции изображенной на рис. 10, является тот из этих многочленов график которого есть прямая, параллельная хорде и делящая на равные части иараллелограм, заключенный между этой хордой и параллельной ей касательной к кривой так как, очевидно, абсолютная величина разности Достигает своего максимума для значений где — абсцисса точки касания а сама разность для этих значений последовательно меняет знак. Заметим, чтобы не было недоразумений, что речь здесь шла о выпуклой книзу кривой, имеющей во всех своих точках касательную. Б этом примере равно половице длины отрезка или рапных ему отрезков или

Рис. 10.