Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. ИДЕЯ ЧЕБЫШЕВА О НАИЛУЧШЕМ РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Постановка вопроса.

К идее наилучшего равномерного приближения П. Л. Чебышев пришел, желая решить чисто практические задачи. П. Л. Чебышев был не только одним из крупнейших математиков

прошлого столетия, создавшим основы ряда широко развитых в настоящее время математических дисциплин, но и передовым инженером своего времени. В частности, Чебышева весьма интересовали вопросы, связанные с конструкциями механизмов, осуществляющих те или иные заданные траектории движения. Мы сейчас поясним, что выражают эти слова.

Пусть на отрезке задана кривая . Требуется построить подчиняющийся определенным техническим требованиям механизм, некоторая точка которого должна описывать насколько возможно точно эту кривую, когда механизм находится в действии. П. Л. Чебышев решает поставленную задачу следующим образом. Прежде всего, выступая при решении ее как инженер, он конструирует нужный механизм так, чтобы при помощи его осуществлялась сравнительно грубо приближенно требуемая траектория движения. Таким образом, некоторая точка А механизма, пока еще не рассчитанного окончательно, при его действии будет описывать кривую

похожую на нужную кривую только в общих чертах. Построенный механизм состоит из отдельных частей — шестеренок, рычагов разного рода и т. д. Все они имеют определенные размеры

вполне определяющие механизм, а следовательно, и кривую (11). Это — параметры механизма и кривой Таким образом, кривая (11) зависит не только от аргумента х, но и от параметров (12). Любой наперед заданной системе значений параметров будет соответствовать определенная кривая, уравнение которой удобно записать в виде

Принято говорить в таких случаях, что мы получили семейство функций (12), заданных на отрезке и зависящих от параметров (11).

При дальнейшем решении своей задачи Чебышев выступает уже как чистый математик. Он совершенно естественно предлагает считать в качестве меры уклонения функции от приближающей ее функции на отрезке агжб величину

равную максимуму абсолютной величины разности

на отрезке (рис. 8). Эта величина есть, очевидно, некоторая функция

от параметров . Ставится теперь вопрос о разыскании таких значений параметров, при которых функция (15) принимает наименьшей значение. Эти значения определяют функцию , про которую принято говорить, что она наилучшим образом равномерно приближает заданную функцию среди всевозможных функций рассматриваемого семейства (11).

Рис. 8.

Величина для этих значений носит название наилучшего равномерного приближения функции на отрезке при помощи функций семейства (13). Ее принято обозначать символом

Термин «равномерный» часто, в особенности в иностранной литературе, заменяют термином «чебы-шевский». Оба они подчеркивают определенный характер близости функций. Возможны и другие способы, например можно говорить о функции из некоторого семейства наилучшим образом в смысле среднего квадратического приближающей Но об этом будет речь в § 8.

Рис. 9.

П. Л. Чебышев впервые вскрыл те закономерности, которые имеют место в рассматриваемом здесь вопросе, и в ряде случаев обнаружил, что функция , наилучшим образом равномерно приближающая функцию на отрезке , обладает тем замечательным свойством, что для нее максимум (15) абсолютной величины разности

достигается по меньшей мере в точках отрезка с последовательной переменой знака (рис. 9).

Мы не можем здесь останавливаться на точной формулировке тех условий, при которых это утверждение имеет место, отсылая более подготовленного читателя к статье В. Гончарова «Теория наилучшего приближения функций» («Научное наследие П. Л. Чебышева», т. I).

1
Оглавление
email@scask.ru