Кручение.

Вдоль кривой от точки к точке положение соприкасающейся плоскости может, конечно, изменяться. Как скорость поворота касательной характеризовалась кривизной, так скорость поворота соприкасающейся плоскости характеризуется новой величиной — кручением кривой. При этом, как и в случае кривизны, скорость берется по отношению к пройденной длине дуги, т. е. если — угол между соприкасающимися плоскостями в фиксированной точке А и в близкой к ней

точке длина дуги то кручение в точке А определяется как предел

Кручение имеет знак, зависящий от того, в какую сторону вращается соприкасающаяся плоскость при движении вдоль кривой.

Таким образом, можно представлять себе, что при движении точки по кривой с ней вместе движется лопасть соприкасающейся плоскости с нарисованными на ней касательной и главной нормалью, причем касательная в каждый момент поворачивается в сторону нормали со скоростью, определяемой кривизной, а плоскость поворачивается вокруг касательной со скоростью и направлением, определяемыми кручением.

Простейшими средствами теории дифференциальных уравнений можно доказать основную теорему, которая, грубо говоря, сводится к тому, что кривые с одинаковыми кривизной и кручением равны. Поясним это утверждение. Если от начала кривой сдвигаться по ней на различную длину дуги то в зависимости от величины мы будем попадать в разные точки кривой, в каждой из которых будет свое значение кривизны к и кручения Тем самым будут для каждой кривой некоторыми функциями пройденного от начала кривой пути

Высказанная теорема утверждает, что если у двух кривых кривизна и кручение как функции длины дуги одинаковы, то кривые равны (т. е. одну из них можно совместить с другой движением). Таким образом, кривизна и кручение как функции длины вдоль кривой уже определяют кривую с точностью до ее положения в пространстве, и можно сказать, что все свойства кривой так или иначе содержатся в зависимостях между ее длиной, кривизной и кручением. Таким образом эти три понятия составляют некоторую законченную основу для разработки разных вопросов, относящихся к кривым. С их помощью вырабатываются также простейшие понятия теории поверхностей, к которым мы сейчас перейдем.

Конечно, теория кривых этим не исчерпывается. В ней вводится много других понятий, связанных с кривой; изучаются специальные типы кривых, семейства кривых, положение кривых на поверхностях, вопросы о форме кривой как целого и т. п. Эти вопросы и методы их решения связаны почти со всеми разделами математики. Круг задач, решение которых может быть получено силами этой теории, чрезвычайно богат и разнообразен.