§ 3. НЕСКОЛЬКО ОБЩИХ ЗАМЕЧАНИЙ О РЕШЕНИИ И СОСТАВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дифференциальных уравнений, все решения которых явно выражаются через простейшие функции, как это имеет место для линейных уравнений с постоянными коэффициентами, немного. Можно привести простые примеры дифференциальных уравнений, общее решение которых не может быть выражено с помощью конечного числа интегралов от известных функций или, как говорят, не может быть выражено в квадратурах.

Так, еще в 1841 г. Лиувилль показал, что решение уравнения Риккати вида при не может быть выражено с помощью конечного числа интегралов от элементарных функций. Поэтому большое значение имеют приемы приближенного решения дифференциальных уравнений, применимые к широким классам дифференциальных уравнений.

То обстоятельство, что таким образом находятся не точные решения этих уравнений, а только приближенные, не должно нас беспокоить. Во-первых, эти приближенные решения, по крайней мере в принципе, могут быть найдены со сколь угодно большой точностью. Во-вторых, следует особо подчеркнуть, что в большинстве случаев сами дифференциальные уравнения, описывающие тот или другой физический процесс, не вполне точны. Это можно видеть на всех примерах, о которых говорилось в § 1.

Особенно показательно в этом отношении уравнение (12) акустического резонатора. При выводе этого уравнения мы пренебрегли сжимаемостью воздуха в горле сосуда и движением воздуха в сосуде. На самом деле при движении воздуха в горле движутся также и массы воздуха в сосуде, но скорости и смещения этих движений различны. В горле происходит значительно большее смещение частиц воздуха, чем в сосуде. Поэтому мы пренебрегли движением воздуха в сосуде, а учли только его сжатие. Для воздуха в горле, наоборот, пренебрегли энергией сжатия, а учли только кинетическую энергию его движения.

При выводе дифференциального уравнения физического маятника мы пренебрегли массой нити, на которую он подвешен. При выводе уравнения (14) электрических колебаний в контуре пренебрегли самоиндукцией провода, сопротивлением катушек. Вообще при выводе дифференциального уравнения любого физического процесса мы всегда чем-то пренебрегаем, что-то идеализируем. Поэтому А. А. Андронов обратил особенное внимание на то, что для физических исследований представляют особый интерес такие дифференциальные уравнения, решения которых мало изменяются при всех в каком-то смысле малых изменениях этих уравнений. Такие дифференциальные уравнения он

назвал «грубыми». Эти уравнения заслуживают особенно полного изучения.

Надо сказать, что в физических исследованиях неточно определяются не только самые дифференциальные уравнения, которые описывают законы изменения физических величин, определяющих течение изучаемого процесса, но даже самое число этих величин определяется весьма приближенно. Строго говори, нет, например, абсолютно твердых тел. Поэтому при изучении колебаний маятника мы должны были бы учесть деформацию нити, на которой он подвешен, деформацию самого твердого тела, которое мы приближенно приняли за материальную точку. Точно так же при изучении колебаний груза, прикрепленного к пружинам, надо было бы принять во внимание массу отдельных витков пружины. Но в этих примерах легко показать, что характер движения отдельных частиц, из которых составлен маятник или груз вместе с пружиной, мало влияет на характер колебаний. Если бы мы захотели учесть это влияние, задача настолько усложнилась бы, что мы не смогли бы ее решить с хорошим приближением. Полученное решение практически не лучше соответствовало бы физической реальности, чем полученное прежде в § 1 без учета этих влияний. Известная идеализация задачи всегда неизбежна. При описании процесса нужно учесть основные черты процесса, а отнюдь не стремиться учесть все черты его без исключения. Это не только сильно усложнило бы задачу, но в большинстве случаев сделало бы ее решение невозможным. Задача физики и механики при изучении какого-нибудь процесса состоит в том, чтобы найти по возможности меньшее число величин, достаточно точно определяющих состояние изучаемого процесса в каждый момент; найти по возможности более простые дифференциальные уравнения, хорошо описывающие законы изменения этих величин. Задача эта часто бывает весьма нелегкой. Что же является существенным при рассмотрении некоторой физической задачи, чем нельзя и чем следует пренебречь, это в конечном счете решает длительный опыт. Только сопоставляя те ответы, которые дает нам идеализированное рассмотрение, с результатами опыта, мы можем судить, законна ли была идеализация.

Математическая задача о возможности уменьшения числа определяющих величин в одной из ее простейших и характерных постановок формулируется так.

Допустим, что мы характеризуем сначала состояние рассматриваемой физической системы в момент t двумя величинами Пусть дифференциальные уравнения, определяющие закон их изменения, имеют вид

У второго уравнения коэффициентом при производной служит малый постоянный параметре. Если мы положим товторое из уравнений (28) перестанет быть дифференциальным уравнением. Оно примет тогда вид

Определим отсюда как функцию от и подставим эту функцию в первое из уравнений (28). Получим уже для одной только величины дифференциальное уравнение вида

Таким образом, число параметров, подлежащих изучению, уменьшилось до одного. Спрашивается, при каких условиях ошибка, происходящая от того, что мы положили будет мала? Ведь может случиться, что при величина будет бесконечно возрастать и правая часть второго из уравнений (28) не будет стремиться к нулю при На целый ряд вопросов, аналогичных только что поставленному, исчерпывающий ответ дали советские математики.