Методы теории чисел.

По своим методам теория чисел делится на четыре части: элементарную, аналитическую, алгебраическую и геометрическую.

Элементарная теория чисел изучает свойства целых чисел, не прибегая к помощи других математических дисциплин. Так, например, исходя из тождества Эйлера

можно довольно быстро показать, что всякое целое разлагается на сумму четырех квадратов целых чисел, т. е. представляется в виде

где — целые.

Аналитическая теория чисел использует для решения задач теории чисел средства математического анализа. Основы аналитической теории чисел были заложены Эйлером и развиты П. Л. Чебышевым, Дирихле, Риманом, Рамануджаном, Харди, Литтльвудом и другими учеными. Наиболее мощные методы аналитической теории чисел созданы академиком И. М. Виноградовым, о чем будет сказано ниже. Эта область теории чисел тесно связана с такой богатой практическими приложениями дисциплиной, как теория функций комплексного переменного, а также с теорией рядов, теорией вероятностей и другими разделами математики.

Основным понятием алгебраической теории чисел является понятие алгебраического числа, т. е. корня уравнения

где — обычные целые числа.

Крупнейший вклад в этот раздел теории чисел внесен Лагранжем, Гауссом, Куммером, Е. И. Золотаревым, Дедекиндом, А. О. Гельфондом и другими.

Основным объектом изучения геометрической теории чисел являются «пространственные решетки» системы всех «целых» точек, т. е. точек, все координаты которых в заданной прямолинейной системе координат (прямоугольной или косоугольной) выражаются целыми числами. Пространственные решетки имеют большое значение для геометрии и для кристаллографии, и вместе с тем их исследование тесно связано с важными вопросами теории чисел (в частности с арифметической теорией квадратичных форм, т. е. теорией квадратичных форм с целочисленными коэффициентами и целочисленными переменными). Основоположные работы в области геометрической теории чисел принадлежат Г. Минковскому и Г. Ф. Вороному.

Необходимо отметить, что методы аналитической теории чисел имеют важные применения как в алгебраической, так и в геометрической теории чисел. Особенно здесь следует отметить проблему подсчета числа целых точек в заданной области, важную для некоторых разделов физики. Подходы к решению этой проблемы были намечены Г. Ф. Вороным, а методы ее решения развиты И. М. Виноградовым.

Глубокая причина силы аналитических методов теории чисел лежит в том, что здесь связи между дискретными целыми числами обогащаются привлечением новых связей через непрерывное.

Необходимо подчеркнуть, что в настоящей главе рассматриваются лишь некоторые избранные вопросы теории чисел.