§ 4. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Внутренняя геометрия.

Как уже было упомянуто, изгибанием поверхности называется такая ее деформация, при которой сохраняются длины всех лежащих на поверхности кривых. Например, свертывание в трубочку листа бумаги с геометрической точки зрения есть не что иное, как изгибание куска плоскости. В самом деле, бумага при этом практически не растягивается и длины всех кривых, начерченных на листе, при его свертывании не меняются. Сохраняются и некоторые другие геометрические величины, связанные с поверхностью, например площади фигур на ней. Все свойства поверхности, не меняющиеся при изгибании, составляют предмет так называемой внутренней геометрии поверхности.

Что же это за свойства? Ясно, что при любом изгибании могут сохраняться лишь те свойства, которые в конечном счете зависят только от ддчт кривых, т. е. могут быть установлены путем измерений, производимых на самой поверхности. Изгибание — это любая деформация, сохраняющая длины кривых, и всякое свойство, которое нельзя изменить никаким изгибанием, так или иначе определяется через длины. Говорят, что внутренняя геометрия — это просто геометрия на поверхности.

Рис. 33

Самый смысл слов «внутренняя геометрия» в том и состоит, что изучаются лишь внутренние свойства самой поверхности, не зависящие от того, каким образом она изогнута в пространстве. Так, например, если мы соединим на листе бумаги две точки прямолинейным отрезком, а потом изогнем этот лист (рис. 33), то отрезок превратится в кривую линию, однако его свойство быть кратчайшей из линий, соединяющих на поверхности данные точки, сохранится; оно, следовательно, принадлежит внутренней геометрии. Напротив, кривизна этой линии будет зависеть от того, в какой мере изогнута бумага, и, следовательно, уже не относится к внутренней геометрии.

Вообще, поскольку планиметрия в своих выводах не обращается к свойствам пространства, объемлющего плоскость, все ее теоремы относятся к внутренней геометрии любой поверхности, полученной изгибанием плоскости. Можно сказать, что планиметрия есть внутренняя геометрия плоскости.

Другой всем знакомый пример внутренней геометрии — это геометрия на поверхности сферы, с которой мы по существу имеем дело при измерениях на земной поверхности. Этот пример особенно хорошо выясняет сущность понятия внутренней геометрии. Дело в том, что ввиду большого

радиуса Земли непосредственно обозримые участки ее поверхности воспри нимаются как плоские, и потому отклонения от планиметрии, наблюдаемые при измерении больших расстояний, предстают перед нами как результат искривленности земной поверхности в пространстве, а как своеобразные законы «земной геометрии», выражающие геометрические свойства самой поверхности Земли.

Рис. 34.

Следует отметить, что сама идея изучения внутренней геометрии возникла у Гаусса именно в связи с задачами геодезии к картографии. Обе эти прикладные науки по существу связаны с внутренней геометрией земной поверхности. Картография имеет дело, в частности, с искажениями отношений размеров при изображении участков земной поверхности на плоскости и, следовательно, с отличием внутренней геометрии поверхности Земли от планиметрии. Аналогично можно представлять себе внутреннюю геометрию любой поверхности: вообразим, что на данной поверхности живут существа настолько маленькие, что в пределах их кругозора поверхность кажется плоской, (мы знаем, что достаточно малый кусок всякой гладкой поверхности мало отличается от касательной плоскости); тогда эти существа не будут замечать, что поверхность искривлена в пространстве, зато при измерении больших расстояний они убедятся, что в их геометрии господствуют другие законы, соответствующие внутренней геометрии той поверхности, на которой они живут. В том, что эти законы действительно различны для разных поверхностей, можно убедиться, например, следующим простым рассуждением. Возьмем на поверхности некоторую точку О и рассмотрим кривую такую, что расстояние любой ее точки до О, измеренное на поверхности (т. е. длина кратчайшей линии, соединяющей эту точку с О), равно постоянному числу (рис. 34). Кривая с точки зрения внутренней геометрии есть не что иное, как окружность радиуса Формула, выражающая ее длину в зависимости от относится к внутренней геометрии данной поверхности. Между тем, эта зависимость может быть самой разнообразной: так, на плоскости на сфере радиуса как нетрудно подсчитать, на поверхности, изображенной на рис. 35, начиная с некоторых значений длина окружности с выбранным центром О становится вовсе не зависящей от

а затем начинает убывать. Следовательно, все рассмотренные поверхности обладают различной внутренней геометрией.

Рис. 35.