Геодезические линии.

Во внутренней геометрии поверхности роль прямых играют так называемые геодезические линии или, как принято говорить, просто «геодезические».

Прямую на плоскости можно определить как линию, составленную из отрезков, частично налегающих друг на друга. Точно так же определяется геодезическая, только роль отрезков играют кратчайшие. Иначе говоря, геодезическая — это такая кривая на поверхности, у которой всякая достаточно малая дуга является кратчайшей. В том, что не всякая геодезическая в целом является кратчайшей, можно убедиться на примере поверхности шара, где всякая дуга большого круга является геодезической, но кратчайшими будут лишь ее участки, не превосходящие полуокружности. Геодезическая может быть, как видим, даже замкнутой кривой.

Чтобы выяснить йекоторые важные свойства геодезических, рассмотрим следующую механическую модель. Пусть на поверхности

помещена растянутая резиновая нить с закрепленными концами (рис. 39). Когда нить имеет наименьшую длину, она будет в равновесии, так как всякое изменение ее положения связано с растяжением и потому может произойти лишь под воздействием внешних сил. Значит, нить, расположенная по кратчайшей, будет в равновесии. Для равновесия необходимо, чтобы упругие силы на каждом участке нити уравновешивались сопротивлением поверхности, которое направлено по нормали к ней. (Мы считаем, что поверхность гладкая и трение между нитью и поверхностью отсутствует.) Но в § 2 было установлено, что давление, производимое натянутой нитью на опору, направлено по главной нормали к кривой, вдоль которой идет нить. Поэтому мы приходим к такому результату: главная нормаль геодезической в каждой точке направлена по нормали к поверхности. Верна и обратная теорема: всякая кривая на регулярной поверхности, обладающая указанным свойством, является геодезической.

Рис. 39.

Указанное свойство геодезической позволяет обнаружить следующий замечательный факт: если материальная точка движется по поверхности так, что на нее не действуют никакие силы, кроме реакции поверхности, то ее траектория есть геодезическая. Действительно, как мы знаем из § 2, нормальное ускорение точки направлено по главной нормали к траектории, а поскольку единственная сила, действующая на точку, есть реакция поверхности, главная нормаль к траектории совпадает с нормалью к поверхности, и в силу последней теоремы траектория является геодезической. Последнеесвойство геодезических еще больше углубляет их сходство с прямыми линиями. Подобно тому как движение свободной точки по инерции происходит по прямой, движение точки, вынужденной оставаться на поверхности, при отсутствии внешних сил происходит по геодезической 2.

Из того же свойства геодезических вытекает следующая теорема: если две поверхности касаются друг друга вдоль кривой, которая на одной из них является геодезической, то на второй поверхности эта кривая также будет геодезической. В самом деле, так как в каждой точке этой кривой поверхности имеют общую касательную плоскость, они в этих точках имеют общую нормаль, а так как на одной из поверхностей кривая является геодезической, эта нормаль совпадает с главной нормалью к кривой. Следовательно, на второй поверхности кривая тоже будет геодезической.

Из этого результата вытекают еще; два наглядных свойства геодезических линий. Во-первых, если упругая прямоугольная пластинка (например, стальная линейка) плотно прилегает к поверхности вдоль своей средней линии, то она касается этой поверхности вдоль геодезической. (Действительно, линия соприкосновения остается геодезической на линейке, а потому оказывается геодезической и на поверхности.) Во-вторых, если некоторая поверхность катится по плоскости так, что она касается при этом плоскости по некоторой прямой, то след этой прямой на поверхности есть геодезическая.

Рис. 40.

Оба эти свойства легко продемонстрировать на примере цилиндра и убедиться на опыте, что срединная линия плоской прямой полосы, наложенной на цилиндр (рис. 40), располагается либо но образующей, либо по окружности, либо по винтовое линии (нетрудно доказать, что геодезические линии на цилиндре могут быть лишь одного из этих типов). Те же линии отпечатываются на цилиндре если катить его по плоскости, на которой мелом начерчена прямая.

Аналогия геодезических с прямыми на плоскости может быть дополнена еще одним важным свойством, которое часто берут за определение геодезических. Именно, прямые на плоскости можно определить как кривые нулевой кривизны, а геодезические на поверхности — как кривые имеющие нулевую геодезическую кривизну. (Напомним, что геодезическая кривизна есть кривизна проекции кривой на касательную плоскость поверхности в исследуемой точке кривой; см. рис. 37.) Естественности совпадения этого определения геодезических с исходным можно пояснить следующими соображениями. Если в каждой точке некоторой линии кривизна проекции на касательную плоскость равна нулю, то кривая отходит от своей касательной в основном в направлении нормали

к поверхности, поэтому и главная нормаль кривой направлена всякий раз по нормали к поверхности, и кривая оказывается геодезической в первоначально указанном смысле. Наоборот, если кривая является геодезической, то ее главная нормаль, а потому и основная часть отклонения от касательной прямой направлены в сторону нормали к поверхности, поэтому при проектировании на касательную плоскость получается кривая, у которой отклонение от касательной существенно меньше, чем у исходной кривой, и кривизна полученной проекции оказывается равной нулю.

Рис. 41.

Ход геодезических на различных поверхностях может быть весьма разнообразным. Для примера на рис. 41 изображено несколько геодезических на гиперболоиде вращения.