§ 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН

Особенно ясно можно показать свойства колебаний на простейших примерах. Мы рассмотрим два характерных примера.

Первым примером такого рода является уравнение колебаний струны

Это уравнение имеет, как можно проверить, два частных решения вида

где произвольные, дважды дифференцируемые функции.

При помощи непосредственного дифференцирования легко убедиться, что удовлетворяют уравнению (15). Можно показать, что

представляет собой общее решение этого уравнения.

Картина колебаний, описываемая функциями представляет значительный интерес. Для того чтобы удобнее всего рассмотреть эту картину, мы проделаем следующий мысленный опыт. Пусть наблюдатель,

изучающий колебания струны, не стоит неподвижно, а движется сам в направлении оси со скоростью а. Для такого наблюдателя положение точки струны будет определяться уже не в неподвижной, а в подвижной координатной системе. Пусть обозначает координату х в такой системе. Точка очевидно, будет соответствовать в каждый момент времени значению Отсюда видно, что

Произвольную функцию и мы можем представить в виде

Рис. 3.

Для решения будем иметь

и, следовательно, в этой координатной системе решение оказалось не зависящим от времени. Таким образом, для наблюдателя, движущегося со скоростью а, струна как бы неподвижно застыла в своем деформированном виде. Для неподвижного же наблюдателя по струне бежит волна со скоростью а в направлении оси

Совершенно также решение можно рассматривать как волну, бегущую со скоростью а в обратном направлении.

По неограниченной струне обе волны будут распространяться неограниченно долго. Двигаясь в разные стороны, они могут при своем наложении давать причудливые картины. Иногда смещение от сложения двух волн может увеличиваться, иногда, наоборот, пропадать.

Если пришедшие с разных сторон в некоторую точку, будут иметь одинаковые знаки, то отклонение усилится, если разные, то уменьшится. На рис. 3 изображено несколько последовательных положений струны для двух возмущений частного вида. Вначале волны движутся независимо навстречу друг другу, а затем начинают перекрываться. Во втором случае будет момент полного исчезновения колебаний, за которым волны вновь разойдутся. Все эти волны легко наблюдаются.

Другой пример, который легко поддается качественному исследованию, представляет распространение волн в пространстве.

Уравнение

выведенное нами выше, имеет два частных решения вида

где через обозначено расстояние от начала координат до данной точки — произвольные дважды дифференцируемые функции.

Проверка того, что их и есть решения, заняла бы много времени, и мы не будем ее делать.

Картина волн, описываемых этими решениями, в общем та же самая, что и для струны. Если не обращать внимания на множитель стоящий в правой части, то первое решение образовало бы волну, бегущую в направлении возрастающих Эта волна обладает шаровой симметрией; в точках с одинаковым процесс протекает совершенно одинаковым образом.

Множитель приводит к тому, что амплитуда волны убывает обратно пропорционально расстоянию от начала координат. Такое колебание называется расходящейся сферической волной. Хорошее представление о ней могут создать круги, распространяющиеся по поверхности воды, в которую брошен камень, только в последнем случае волны будут круговыми, а не шаровыми.

Второе из решений (17) также имеет большой интерес, - это так называемая сходящаяся волна, бегущая по направлению к началу координат. Ее амплитуда с течением времени возрастает до бесконечности по мере приближения к началу. Как мы видим, такая концентрация возмущения может привести к тому, что малые вначале колебания могут, собравшись в одной точке, дать большой всплеск.