§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Вопрос о существовании и единственности решения дифференциального уравнения. Возвратимся к дифференциальному уравнению (17) произвольного порядка Оно имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений, и чтобы из всевозможных его решений выделить какое-либо одно определенное, необходимо к уравнению присоединить дополнительные условия, число которых должно быть равно порядку уравнения. Такие условия могут иметь весьма разнообразный характер, и вид их тесно связан с физическим, механическим или иным значением задачи, которую мы привели к решению уравнения. Например, если нам нужно исследовать движение механической системы, начинающееся с определенного начального состояния, дополнительные условия будут относиться к определенному (начальному) значению независимой переменной и будут носить тогда название начальных условий задачи. Если же мы хотим определить линию провисания каната при конструировании подвесного моста или хотим найти прогиб балки, положенной на опоры и несущей какие-либо нагрузки, мы встретимся с дополнительными условиями, относящимися к различным значениям независимой переменной (к концам канат., или точкам опоры балки в наших примерах). Можно было бы привести много других примеров, показывающих, насколько разнообразными могут быть дополнительные условия, присоединяемые к дифференциальному уравнению.

Будем считать, что дополнительные условия поставлены и нам нужно найти решение уравнения (17), удовлетворяющее таким условиям. Первый вопрос, который мы должны поставить, — это вопрос о существовании искомого решения. Нередко бывает, что мы заранее не можем

быть уверены в его существовании. Пусть, скажем, уравнение (17) является записью закона работы какого-либо физического прибора, и пусть мы хотим определить, может ли в этом приборе осуществиться периодический процесс. Дополнительные условия будут тогда условиями периодической повторяемости начального состояния процесса в приборе, и мы не можем сказать заранее, будет или не будет существовать решение, им удовлетворяющее.

Во всяком случае исследование проблемы существования и единственности решения дает нам возможность выяснить, какие дополнительные условия могут быть выполнены для рассматриваемого уравнения и какие из них определят решение единственным образом. Выявление таких условий и доказательство существования и единственности решения уравнения, описывающего некоторое физическое явление, имеют большое значение и для самой физической теории. Они показывают взаимную согласованность допущений, принятых в математическом описании явления, и известную полноту этого описания.

Методы исследования проблемы существования многообразны, но среди них особенно важную роль играют так называемые прямые методы. Существование нужного решения в них доказывается путем построения приближенных решений, сходящихся в пределе к точному решению задачи. Эти методы дают возможность не только установить существование точного решения, но доставляют также воэможность, хотя бы принципиальную, сколь угодно точно к нему приблизиться.

Ниже в этом параграфе для определенности изложения будем иметь в виду задачу с начальными данными и на ее примере постараемся выяснить идеи метода Эйлера и метода последовательных приближений.