Основные понятия внутренней геометрии.

Чтобы выяснить, каков круг понятий и теорем внутренней геометрии, обратимся к планиметрии, которая, как уже говорилось, является внутренней геометрией плоскости. Ее предметом служат фигуры на плоскости и их свойства, выражающиеся обычно в виде соотношений между основными геометрическими величинами, такими, как длина, угол, площадь. Кстати, для строгого обоснования того, что угол и площадь относятся к внутренней геометрии плоскости, нужно показать, что они могут быть выражены через длины. Это действительно так: ведь угол можно вычислить, если известны длины сторон какого-либо треугольника, которому он принадлежит; площадь треугольника тоже вычисляется по его сторонам, а для вычисления площади любого многоугольника его достаточно разбить на треугольники.

Рассматривая планиметрию как внутреннюю геометрию плоскости, нет надобности ограничивать ее школьными рамками. Напротив, ее можно развивать сколь угодно далеко, ставя новые задачи, лить бы вводимые понятия основывались в конечном счете на измерении длин. Так, в планиметрию последовательно вводятся понятие о длине кривой, понятие площади криволинейных фигур и пр. все они относятся к внутренней геометрии плоскости.

Те же понятия вводятся во внутренней геометрии произвольной поверхности. Длина кривой является при этом исходным понятием; с углом и площадью дело обстоит несколько сложнее. Если внутренняя геометрия данной поверхности отличается от планиметрии, то мы не можем определять угол и площадь через длины по обычным формулам. Однако, как уже упоминалось, поверхность вблизи данной точки мало отличается от своей касательной плоскости. Говоря точнее, верно следующее: если малый участок поверхности, содержащий данную точку М, спроектировать на касательную плоскость в этой точке, то расстояние между точками, измеренное на поверхности, отличается от расстояния между их проекциями на бесконечно малую величину выше порядка по сравнению с их расстояниями от точки М. Поэтому при определении геометрических величин, относящихся

к данной точке поверхности и получаемых предельным переходом, в котором играют роль бесконечно малые не выше 2-го порядка, можно заменять участок поверхности его проекцией на касательную плоскость. При этом величины, полученные измерением на касательной плоскости, окажутся для поверхности внутренне-геометрическими. Эта возможность рассматривать малый участок поверхности как плоский лежит в основе определения всех понятий внутренней геометрии.

Для примера рассмотрим определения угла и площади. Следуя общему принципу, угол между кривыми на поверхности определяем как угол между их проекциями на касательную плоскость (рис. 36).

Рис. 36.

Рис. 37.

Очевидно, угол, определенный таким образом, совпадает с углом между касательными к кривым. Определение площади, данное в § 3, основано на том же принципе. Наконец, чтобы охарактеризовать искривленность кривой «внутри» самой поверхности, вводится понятие геодезической кривизны; название «геодезическая кривизна» напоминает об измерениях на земной поверхности. Геодезическая кривизна кривой в данной точке определяется как кривизна ее проекции на касательную плоскость (рис. 37).

Таким образом, мы убедились, что основные понятия планиметрии вводятся и во внутренней геометрии произвольной поверхности.

Легко также определить на любой поверхности фигуры, аналогичные основным фигурам на плоскости. Например, мы уже имели дело с окружностью, которая определялась дословно так же, как на плоскости. Можно определить аналог отрезка — «кратчайшую», как самую короткую из кривых, соединяющих на поверхности две данные точки, Далее, естественно определяется треугольник (как фигура,

ограниченная тремя кратчайшими), многоугольник и т. п. Однако свойства всех этих фигур и величин зависят от поверхности, и в этом смысле существует бесконечно много различных внутренних геометрий. Но внутренняя геометрия как специальный раздел теории поверхностей обращает главное внимание на общие закономерности, имеющие место во внутренней геометрии любой поверхности, и при этом выясняет, как эти закономерности выражаются через величины, характеризующие данную поверхность.

Как уже отмечалось, одна из важнейших характеристик поверхности — ее гауссова кривизна — не меняется при изгибании, т. е. зависит лишь от внутренней геометрии поверхности.

Рис. 38.

Оказывается, что гауссова кривизна уже в значительной мере характеризует степень отклонения внутренней геометрии поверхности вблизи данной точки от планиметрии. Для примера рассмотрим на поверхности окружность очень маленького радиуса с центром в данной точке О. Длина такой окружности на плоскости выразилась бы формулой На поверхности, отличной от плоскости, зависимость длины окружности от радиуса будет другой; при этом отклонение от как можно доказать, зависит при малых в основном от гауссовой кривизны К в центре окружности, а именно:

где при Иными словами, при малых длину окружности можно вычислять по обычной формуле, допуская ошибку 3-го порядка малости, причем сама эта ошибка (с точностью до малых уже выше 3-го порядка) пропорциональна гауссовой кривизне. В частности, если то длина окружности малого радиуса меньше длины окружности того же радиуса на плоскости, если то, наоборот, — больше. Впрочем, последнее нетрудно видеть и на глаз: вблизи точки с положительной кривизной поверхность имеет форму «чаши» и окружность на ней сокращается; вблизи же точки с отрицательной кривизной окружность, располагаясь вокруг «седла», делает волну и тем самым несколько растягивается (рис. 38).

Из приведенной теоремы следует, что поверхность с переменной гауссовой кривизной геометрически неоднородна; ее внутренне-геометрические

свойства меняются от точки к точке. Если характер задач внутренней геометрии сближает ее с планиметрией, то указанная неоднородность составляет ее глубокое принципиальное отличие от планиметрии. Так например, на плоскости сумма углов всякого треугольника равна двум прямым; на произвольной же поверхности вопрос о сумме углов треугольника, образованного кратчайшими, является неопределенным, даже если известна поверхность, на которой расположен треугольник и указаны его «размеры», например длины сторон. Однако, если известна гауссова кривизна К в каждой точке этого треугольника, то сумма его углов вычисляется по формуле

где интегрирование происходит по площади треугольника. Эта формула содержит, как частный случай, известные теоремы о сумме углов треугольника на плоскости и на единичной сфере. В первом случае и 3 во втором , где — площадь сферического треугольника.

Можно доказать, что всякий достаточно малый кусок поверхности с нулевой гауссовой кривизной можно изогнуть или, как еще принято говорить, развернуть на плоскость, так как он имеет такую же внутреннюю геометрию как и плоскость. Такие поверхности называются развертывающимися. Если же гауссова кривизна близка к нулю, то хотя поверхность и нельзя развернуть на плоскость, но все же ее внутренняя геометрия мало отличается от планиметрии. Это лишний раз показывает, что гауссова кривизна служит мерой отклонения внутренней геометрии поверхности от планиметрии.