§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Говоря о случайных явлениях, которым свойственна устойчивость частот, т. е. тенденция при большом числе повторений известных условий происходить с частотами, группирующимися вокруг некоторого нормального уровня — вероятности мы допустили в § 1 некоторую неточность и расплывчатость формулировок в двух отношениях. Первая из допущенных неточностей заключается в том, что мы не указали, насколько велики должны быть по своей численности серии испытаний для того, чтобы устойчивость частот уже обязана была проявиться, и каковы именно допустимые отклонения частот друг от друга и от нормального их уровня при тех или иных численностях отдельных серий

Эта неточность на первом этапе формирования понятий новой науки неизбежна. Она нисколько больше, чем известная расплывчатость, свойственная простейшим геометрическим понятиям точки или прямой в их физическом понимании. Эта сторона дела была затем уточнена в § 3.

Существеннее другая скрытая в наших формулировках неясность, относя щаяся к способу формирования тех серий, в которых должна наблюдаться устойчивость частот появления события А.

Мы уже видели, что к статистическим и вероятностным методам исследования обращаются тогда, когда точное индивидуальное предсказание хода событий оказывается неосуществимым. Желая же искусственно создать по возможности чисто случайные явления, специально заботятся о том, чтобы никакими доступными средствами нельзя было заранее выделить те случаи, в которых явление А будет иметь тенденцию появляться чаще, чем [с некоторой нормальной для него частотой.

Так организуются, например, тиражи государственных займов. Если в данном тираже из общего числа облигаций на М из них выпадает выигрыш, то вероятность выигрыша для отдельной облигации равна Это значит, что каким бы образом мы ни выделили заранее до тиража совокупность облигаций достаточно большой численности мы можем быть практически уверены, что отношение — числа выигравших облигаций в выделенной совокупности к общей численности этой совокупности окажется близким к . Например, лица, предпочитающие приобретать четные номера облигаций, не получат никакого систематического преимущества перед теми, которые предпочитают приобретать нечетные номера; точно так же не получат никакого преимущества лица, которые исходили

дили бы из убеждения, что лучше всего приобретать облигации с номерами, разлагающимися ровно на три простых множителя, или облигации, номера которых являются соседними с теми, на которые упали выигрыши в предшествующем тираже, и т.

Точно так же при стрельбе из исправного орудия данного образца, с хорошо обученным обслуживающим персоналом и при нормальном способе получения снарядов, прошедших обычный для выпускаемой продукции контроль, мы будем получать отклонения от средней точки падения меньше определенного заранее вероятного отклонения В приблизительно в половине случаев. Эта пропорция сохранится в ряде последовательных стрельб, сохранится она и в том случае, если мы отдельно подсчитаем число отклонений, меньших В, для четных или нечетных (по порядку их во времени) выстрелов и т. Но вполне возможно, что, произведя отбор особенно однородных (в отношении их веса и т. снарядов, мы могли бы рассеивание несколько уменьшить, т. е. получить серию снарядов, для которой доля отклонений, болыпих стандартного В, окажется существенно меньше половины.

Итак, говорить о том, что событие А является «вероятностно-случайным» и приписывать ему определенную вероятность

можно только тогда, когда указан класс допустимых способов формирования серий испытаний. Указание этого класса мы будем считать включенным в условия

При заданных условиях свойство события А быть вероятностно-случайным и иметь вероятность выражает объективный характер связи между условиями и событием А. Иначе говоря, не существует событий абсолютно случайных, события являются случайными или необходимыми в зависимости от того, в какой связи они рассматриваются, но в определенных условиях событие может быть случайным совершенно объективно, и это его свойство не зависит от состояния знаний какого бы то ни было наблюдателя. Если вообразить наблюдателя который мог бы улавливать во всех деталях отличительные свойства и особые обстоятельства полета снарядов и, следовательно, предсказывать индивидуальные для каждого из них отклонения от средней траектории, то его присутствие не помешало бы снарядам рассеиваться по законам теории вероятностей (если, конечно, стрельба будет производиться обычным способом, а не по указаниям нашего воображаемого наблюдателя).

Заметим по этому поводу, что обсуждавшееся выше формирование серий, в которых проявляется тенденция к постоянству частот в смысле их группирования вокруг нормального значения — вероятности, тоже происходит в реальной обстановке совершенно независимо от нашего вмешательства. Например, именно в силу вероятностно-случайного характера движений молекул в газе число молекул, ударяющихся даже за очень малые промежутки времени о какую-либо площадку стенки сосуда или поверхности помещенных в газе тел, оказывается с большой точностью пропорциональным площади этой площадки и длине промежутка времени. Отклонения от этой пропорциональности в тех случаях, когда число ударов невелико, тоже следуют законам теории вероятностей и вызывают явления типа броуновского движения, о чем будет идти речь далее.

Обратимся к выяснению реального смысла понятия независимости. Напомним, что условная вероятность события А при условии В определялась формулой

Напомним также, что события назывались независимыми, если, согласно (4),

Из независимости событий А и В и следует

Все теоремы математической теории вероятностей, говорящие о независимых событиях, применимы к любым событиям, удовлетворяющим условию (4), или его обобщениям на случай взаимной независимости многих событий. Эти теоремы имели бы, однако, мало интереса, если бы это определение не находилось в связи со свойствами реально независимых (в причинном смысле) явлений.

Известно, например, что вероятность новорожденному оказаться мальчиком имеет довольно устойчивое значение Если В обозначает условие, что рождение происходит в день соединения Юпитера с Марсом, то в предположении, что расположение планет не определяет индивидуальных судеб людей, условная вероятность имеет то же самое значение: т. е. фактический подсчет частоты рождения мальчиков при таких специальных астрологических условиях привел бы именно к частоте . Хотя такой подсчет в достаточно обширных размерах, возможно, никем не производился, нет оснований сомневаться в его результате.

Мы привели этот несколько устарелый по содержанию пример для того, чтобы показать, что развитие человеческого познания состоит не только в установлении истинных связей между явлениями, но и в опровержении связей воображаемых, т. е. установлении в надлежащих случаях тезиса о независимости каких-либо двух кругов явлений. Разоблачение бессмысленности попыток астрологов связать между собою два круга явлений, друг с другом не связанных, является одним из классических тому примеров.

Естественно, что такого рода независимость не следует абсолютизировать. Например, в силу закона всемирного тяготения несомненно, что перемещение спутников Юпитера оказывает некоторое влияние, скажем, на полет артиллерийского снаряда. Но очевидно, что на практике с этими влияниями мы можем не считаться. С философской стороны, быть может, было бы правильнее вместо независимости говорить о несущественности в данной конкретной обстановке или иных зависимостей. Но как бы то ни было, независимость событий в объявленном сейчас конкретном и относительном понимании этого термина ни в какой мере не противоречит принципу всеобщей связи всех явлений, она лишь его необходимое дополнение.

Подсчеты вероятностей по формулам, выводимым из допущений о независимости тех или иных событий, имеют реальный интерес в том случае, когда события, бывшие сначала независимыми, ходом самих явлений приводятся затем в связь. Например, можно рассчитывать вероятности столкновения частиц космического излучения с частицами пронизываемой ими среды, исходя из допущения, что движение частиц среды до появления вблизи них быстро двигающейся частицы космического излучения происходит независимо от перемещения этой частицы. Можно рассчитывать вероятность попадания вражеской пули в лопасть вращающегося пропеллера, исходя из допущения, что его положение относительно оси не зависит от траектории пули (конечно, это допущение было бы ошибочно по отношению к собственной пуле, выпускаемой при стрельбе через пропеллер согласованно

с его вращением) и т. п.; число таких примеров может быть неограниченно продолжено.

Можно даже сказать, что всюду, где достаточно ясно проявляются вероятностные закономерности, мы имеем дело с влиянием большого числа если не совсем независимых между собой, то в том или ином смысле слабо связанных друг с другом факторов.

Это совсем не означает, что следует всюду некритически вводить допущения о тех или иных независимостях. Наоборот, это заставляет, во-первых, особенно тщательно разрабатывать критерии для проверки гипотез о независимости, а во-вторых, особенно тщательно исследовать пограничные случаи, когда зависимости между факторами уже необходимо учитывать, но эти зависимости таковы, что вероятностные закономерности в измененном и осложненном виде еще могут проявиться. Выше отмечалось, что уже классическая русская школа теории вероятностей широко развернула исследования во втором из этих направлений.

Заканчивая рассмотрение вопроса о независимости, отметим, что как определение независимости двух событий формулой (4), так и формальное определение независимости нескольких случайных величин значительно шире понятия реальной независимости в смысле принадлежности к причинно не связанным кругам явлений.

Предположим, например, что точка падает на отрезок [0,1] так, что при

вероятность ее попадания на отрезок равна длине этого отрезка Легко доказать, что тогда в разложении

абсциссы точки в десятичную дробь знаки будут взаимно независимы, хотя они и связаны по своему происхождению. (Из этого обстоятельства вытекает много теоретически, а частью и практически интересных следствий.)

Такая гибкость формального определения независимости не должна рассматриваться как его недостаток. Наоборот, она лишь расширяет область применимости теорем, установленных при тех или иных допущениях о независимости. Эти теоремы применимы одинаково и в случаях, где независимость постулируется в силу реальных соображений, и в случаях, где независимость доказывается расчетом, исходя из ранее принятых допущений о распределениях вероятностей исследуемых событий и случайных величин.

Вообще исследование формальной структуры математического аппарата теории вероятностей привело к интересным результатам. Оказалось, что этот аппарат занимает вполне определенное и очень простое место в намечающейся постепенно классификации основных объектов изучения современной математики.

Мы уже говорили о понятии совмещения двух событий и о понятии соединения событий Напомним, что события называются несовместимыми, если их совмещение невозможно, т. е. если где невозможного события.

Основной аксиомой элементарной теории вероятностей является требование (см. § 2), чтобы при условии соблюдалось равенство

Свойства основных понятий теории вероятностей — случайных событий и их вероятностей — вполне аналогичны, например, свойствам плоских фигур и их площадей. Достаточно понимать под пересечение (общую часть) двух фигур, под соединение, под — условно вводимую «пустую» фигуру, а под Р(А) — площадь фигуры А и аналогия в намеченных пределах будет полной.

Такими же свойствами обладают объемы трехмерных фигур.

Наиболее общей теорией образований подобного типа, охватывающей как частные случаи теории объемов и площадей, является сейчас общая теория меры., некоторые сведения о которой можно найти в главе XV (том 3), посвященной теории функций действительного переменного.

Следует только отметить, что в теории вероятностей имеются по сравнению с общей теорией меры или специально с теорией площадей и объемов некоторые специфические черты: вероятность никогда не бывает больше единицы. Эту максимальную вероятность имеет необходимое событие

Аналогия не является поверхностной. Оказалось, Что вся математическая теория вероятностей с формальной стороны может быть построена как теория меры, специализированная допущением, что мера «всего пространства» равна единице.

Такой подход к делу не только внес полную ясность в формальное строение математической теории вероятностей, но и способствовал вполне конкретному прогрессу как самой теории вероятностей, так и смежных с ней по формальному строению математических теорий. В теории вероятностей с успехом были использованы тонкие методы, разработанные в метрической теории функций действительного переменного. Одновременно вероятностные методы оказались применимыми в вопросах смежных областей математики не «по аналогии», а путем формально строгого их перенесения в новые области. Всюду, где оказываются выполненными аксиомы теории вероятностей, применимы и следствия из этих аксиом, хотя бы данная область не имела ничего общего с реальной случайностью.

Наличие аксиоматизированной теории вероятностей избавляет нас от соблазна «определять» вероятность способами, претендующими на соединение их непосредственной естественно-научной убедительности с приспособленностью к построению на их основе формально строгой математической теории. Такие определения приблизительно соответствовали бы в геометрии «определению» точки как того, что получится, если бесконечное число раз обрезать со всех сторон физическое тело, уменьшая каждый раз, скажем, вдвое его диаметр.

К такого рода определениям относится определение вероятности как предела частот при неограниченном увеличении числа испытаний. Допущение о вероятностном характере испытаний, т. е. о тенденции частот группироваться вокруг постоянного значения, само по себе бывает верно (как и допущение о «случайности» какого-либо явления) лишь при сохранении некоторых условий, которые не могут сохраняться неограниченно долго и с неограниченной точностью. Поэтому точный переход к пределу

не может иметь реального значения. Формулировка принципа устойчивости частот при обращении к такому предельному переходу требует определения

допустимых способов отыскания бесконечных последовательностей испытаний, которое тоже может быть лишь математической фикцией. Все это нагромождение понятий могло бы еще подлежать серьезному рассмотрению, если бы в результате получилось построение теории столь своеобразной, что иными путями до ее строгого обоснования нельзя было бы дойти. Но, как указано выше, обоснование математической теории вероятностей при современном состоянии теориц меры производится просто добавлением условия

Вообще, при реальном анализе понятия вероятности вовсе не обязательно стремиться к его формальному определению. Повидимому, с чисто формальной стороны о вероятности нельзя сказать ничего больше следующего: вероятность есть число, вокруг которого, при условиях и при предусмотренных этими условиями способах формирования серий, имеют тенденцию группироваться частоты, причем при возрастании численности этих серий в разумных пределах, не нарушающих однородности условий, эта тенденция проявляется со все большей отчетливостью и точностью, достигая достаточных в данной конкретной обстановке надежности и точности при достижимых численностях серий.

Действительно, важной задачей является не формальное уточнение этого определения, а возможно более широкое выяснение условий, при которых такого типа вероятностная случайность должна проявляться. Надо ясно понимать то, что в действительности гипотеза о вероятностном характере какого-либо явлений лишь очень редко обосновывается непосредственной статистической проверкой. Только при первом проникновении вероятностных методов в какую-либо новую область дело часто начиналось с того, что чисто эмпирически отмечалось постоянство частот. В силу сказанного в § 3, для того чтобы статистически обнаружить постоянство частот с точностью до необходимо пользоваться сериями примерно по испытаний. Например, для того чтобы установить, что в данном конкретном вопросе имеет смысл считать вероятность определенной с точностью до 0,0001, необходимо произвести ряд серий испытаний примерно по 100 000 000 испытаний в каждой.

Гораздо чаще гипотеза вероятностной случайности вводится на основании соображений симметрии или на основании соображений о практической независимости отдельных, приходящих в соприкосновение рядов явлений и т. д. Затем эта гипотеза проверяется косвенным путем. Например, благодаря тому, что число молекул в конечных объемах газа выражается числами порядка 1020 и более, число соответствующее вероятным выводам кинетической теории газов, бывает очень велико и, действительно, многие из этих выводов оправдываются с большой точностью. Например, давление на противоположные стороны подвешенной в спокойном воздухе пластинки даже микроскопических для нашего глаза размеров оказывается строго одинаковым, хотя уже превышение давления на одну из сторон над давлением на другую в тысячные доли процента при надлежащей постановке опыта могло бы быть замечено.